lim x-->0 √1+tgx - √1+senx /x^3. como que resolve isso ?

Primeiro você multiplica os dois lados pelo conjugado da parte de cima:

√1+tgx - √1+senx (√1+tgx + √1+senx)

      x^3 (√1+tgx + √1+senx)

multiplicando a parte de cima, temos:

           tgx –  senx                 

 x^3 (√1+tgx + √1+senx)

Analisando somente a parte de cima, vemos que tgx = senx/cosx, então, substituindo:

senx   -   senx    =   senx  -  cosxsenx      =     senx (1-cosx)

cosx                                  cosx                                cosx

multiplicando pelo conjugado:

senx (1-cosx)(1+cosx)      =    senx(1-cos^2x)    =    senx(sen^2x)   =      sen^3x

      cosx(1+cosx)                    cosx(1+cosx)             cosx(1+cosx)        cosx(1+cosx)

Agora, com a parte de baixo:

               sen^3x

          cosx(1+cosx)                          =                                      sen^3x

x^3 (√1+tgx + √1+senx)                                cosx(1+cosx) x^3 (√1+tgx + √1+senx)

Vemos agora que podemos aplicar o limite fundamental:

=                              (sen^3x)                             1                                         

                                   (x^3)       cosx(1+cosx) (√1+tgx + √1+senx)

Igualando x a zero, temos:

=       1/4

Seja:

\(\lim _{x\to 0}\left(\left(\sqrt{1+tanx}\right)-\frac{\left(\sqrt{1+senx}\right)}{x^3}\right)\)

Vamos calcular esse limite pela direita:

\(\lim _{x\to 0+}\left(\left(\sqrt{1+tanx}\right)-\frac{\left(\sqrt{1+senx}\right)}{x^3}\right)\)

\(\lim _{x\to \:0+}\left(\sqrt{1+\tan \left(x\right)}\right)-\lim _{x\to \:0+}\left(\frac{\sqrt{1+sen \left(x\right)}}{x^3}\right)\)

Temos:

\(\lim _{x\to \:0+}\left(\sqrt{1+\tan \left(x\right)}\right)=1\\ \lim _{x\to \:0+}\left(\frac{\sqrt{1+sen \left(x\right)}}{x^3}\right)=\infty \:\)

Portanto: 

\(\lim _{x\to 0+}\left(\left(\sqrt{1+tanx}\right)-\frac{\left(\sqrt{1+senx}\right)}{x^3}\right)=1-\infty \:=-\infty\)

Agora vamos calcular o limite pela esquerda:

\(\lim _{x\to \:0-}\left(\sqrt{1+\tan \left(x\right)}-\frac{\sqrt{1+sen \left(x\right)}}{x^3}\right)\\ \lim _{x\to \:0-}\left(\sqrt{1+\tan \left(x\right)}\right)-\lim _{x\to \:0-}\left(\frac{\sqrt{1+sen \left(x\right)}}{x^3}\right)\)

Temos:

\(\lim _{x\to \:0-}\left(\sqrt{1+\tan \left(x\right)}\right)=1\\ \lim _{x\to \:0-}\left(\frac{\sqrt{1+sen \left(x\right)}}{x^3}\right)=-\infty \:\)

Assim: 

\(\lim _{x\to \:0-}\left(\sqrt{1+\tan \left(x\right)}-\frac{\sqrt{1+sen \left(x\right)}}{x^3}\right)=1-\left(-\infty \:\right)=\quad \infty \: \)

Como um limite vai para \(+\infty\) e outro para \(-\infty\), esse limite não existe.