Lim {x->infinito} ( sin 2x ) / (x)

Caro Diego, vamos proceder da seguinte forma, primeiramente usaremos o teorema do sanduíche:

-1≤ sen2x ≤ 1; dividindo tudo por (1/x);

-1/x ≤ sen2x/x ≤ 1/x , aplica-se o lim com x tendendo ao infinito em todos os termos;

 do teorema do sanduíche se limite de -1/x = 1/x e existe então, o limite sen2x/x = lim 1/x = lim -1/x;

mas, lim 1/x^r = 0 e também, lim -1/x^r = 0 .

        x→∞                             x→∞

logo, lim sen2x/x = 0

Temos aqui uma aplicação direta do Teorema do Confronto.

\(-1 \leq \sin(2x) \leq 1\)

Ou seja:

\(\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(2x)}{x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\)

\(0 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(2x)}{x} \leq 0\)

Logo:

\(\boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(2x)}{x} = 0}\)