como calcular o comprimento da função: y=2/3 raiz x^3,0<x<1

Comprimento de arco de uma curva

Seja  uma função contínua em  com derivada contínua em .

Queremos definir o comprimento de seu gráfico, que é a curva C, entre os pontos

 e .

Para tanto, em primeiro lugar, vamos considerar uma partição P do intervalo :

, tal que :

 

 

 

 

 

 

Consideremos a linha poligonal determinada pelos pontos , , onde cada 

.

Assim, o comprimento de C é dado por:

 

onde

Como f é contínua, com derivada contínua, por hipótese, a expressão para L pode ser melhorada. De fato, pelo Teorema do Valor Médio, podemos escrever:

 para algum , tal que ,

ou seja,

 

onde  para .

Dessa maneira,

 

uma vez que  é uma soma de Riemann para a função  relativa à partição P do intervalo .

Assim, o comprimento da curva C é:

.

O comprimento do arco de parábola,  para , é igual a . Da mesma forma o comprimento do arco de parábola , para  tem o mesmo valor.