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Regra da Cadeia

Alguém pode me explicar como que faz a regra do produto junto com a regra da cadeia?Por exemplo y=xe^-kx ?

Cálculo IUFSJ

3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Para resolver a regra da cadeia dessa equação vamos separá-la em duas funções:

\(y=xe^{-kx}\\ \cases{f(x) =x\\ g(x)=e^{-kx}} \)

A regra da cadeia diz que:

\(y = f(x)\cdot g(x)\\ \frac{dy}{dx}=f'(x)\cdot g(x)+ g'(x) \cdot f(x)\\ \frac{dy}{dx}=1\cdot e^{-kx}+(-ke^{-kx}\cdot x)\\ \frac{dy}{dx}=e^{-kx}\cdot(1-x)\)

Derivada igual a \(\frac{dy}{dx}=e^{-kx}\cdot(1-x)\)

Para resolver a regra da cadeia dessa equação vamos separá-la em duas funções:

\(y=xe^{-kx}\\ \cases{f(x) =x\\ g(x)=e^{-kx}} \)

A regra da cadeia diz que:

\(y = f(x)\cdot g(x)\\ \frac{dy}{dx}=f'(x)\cdot g(x)+ g'(x) \cdot f(x)\\ \frac{dy}{dx}=1\cdot e^{-kx}+(-ke^{-kx}\cdot x)\\ \frac{dy}{dx}=e^{-kx}\cdot(1-x)\)

Derivada igual a \(\frac{dy}{dx}=e^{-kx}\cdot(1-x)\)

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você aplica a regra do produto normalmente, e multiplica a derivada da função pela derivada do argumento da mesma, isso na verdade é sempre feito , o que acontece é que na maioria dos casos o argumento das funções tem derivada igual a 1. exemplo: y= sinx => y'= (sinx)'(x)' = cos(x)*(1)= cos(x)
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y'= (1+xk^2)e^-kx
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y'= x'e^-kx + x(e^-kx)'= e^-kx + x(-ke^-kx)(-kx)'= e^-kx + k^2xe^-kx y'= (1+xk^2)e^-kx

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas