como resolver uma derivada implicita

Considere duas variáveis x e y, sendo que y é uma função de x. Se nós conhecermos uma equação que relacione x e y podemos determinar uma expressão para a derivada de y em relação a x sem precisar resolver esta equação. O método da derivada implícita consiste em aplicar a derivada em relação à x em ambos os lados da equação e depois resolver a equação resultante para a derivada de y em relação a x ou seja para \(y'=\frac{dy}{dx}\)

Por exemplo, seja y²+x²=c, onde c é uma constante diferente de zero. Vamos aplicar a derivada em relação a x nos dois lados da equação, ou seja:

y²+x²=c             (1)

\({d(y²+x²) \over dx}={d(c) \over dx}\)

\({d(y²) \over dx}+{d(x²) \over dx}={d(c) \over dx}\)

Agora usamos a regra da cadeia e obtemos:

\({2ydy \over dx}+{2x}=0\)

Resolvendo para \(y'=\frac{dy}{dx}\), obtemos o resultado:

\({2ydy \over dx}+{2x}=0\)

\({dy \over dx}=-{2x \over 2y}\)

\({dy \over dx}=-{x \over y}\)

A relação \({dy \over dx}=-{x \over y}\) é a derivada implícita de y termos de x e y.

Podemos utilizar qualquer relação explícita conhecida de y em relação a x para apresentarmos a derivada em termos apenas de x. Utilizando a equação (1), temos:

y²+x²=c   ⇒ \(y = { \pm \sqrt{c-x²}}\)     

Portanto, há dois conjuntos possíveis de funções, que dependem do sinal em frente ao radical ser positivo ou negativo, ou seja:

\(y =f(x)= { \sqrt{c-x²}}\)     e    \(y =g(x)= - { \sqrt{c-x²}}\)

Assim, o resultado a derivada de y em relação a x apenas em termos de x é dado por:

\({dy \over dx}=-{x \over y}\implies {dy \over dx}= \begin{cases} -{x\over f(x)} =-{x\over \sqrt{c-x²}} {}\\ -{x\over g(x)} { =+{x\over \sqrt{c-x²}} {}\\ } \text{} \end{cases} \)

Considere duas variáveis x e y, sendo que y é uma função de x. Se nós conhecermos uma equação que relacione x e y podemos determinar uma expressão para a derivada de y em relação a x sem precisar resolver esta equação. O método da derivada implícita consiste em aplicar a derivada em relação à x em ambos os lados da equação e depois resolver a equação resultante para a derivada de y em relação a x ou seja para \(y'=\frac{dy}{dx}\)

Por exemplo, seja y²+x²=c, onde c é uma constante diferente de zero. Vamos aplicar a derivada em relação a x nos dois lados da equação, ou seja:

y²+x²=c             (1)

\({d(y²+x²) \over dx}={d(c) \over dx}\)

\({d(y²) \over dx}+{d(x²) \over dx}={d(c) \over dx}\)

Agora usamos a regra da cadeia e obtemos:

\({2ydy \over dx}+{2x}=0\)

Resolvendo para \(y'=\frac{dy}{dx}\), obtemos o resultado:

\({2ydy \over dx}+{2x}=0\)

\({dy \over dx}=-{2x \over 2y}\)

\({dy \over dx}=-{x \over y}\)

A relação \({dy \over dx}=-{x \over y}\) é a derivada implícita de y em termos de x e y.

Podemos utilizar qualquer relação explícita conhecida de y em relação a x para apresentarmos a derivada em termos apenas de x. Utilizando a equação (1), temos:

y²+x²=c   ⇒ \(y = { \pm \sqrt{c-x²}}\)     

Portanto, há dois conjuntos possíveis de funções, que dependem do sinal em frente ao radical ser positivo ou negativo, ou seja:

\(y =f(x)= { \sqrt{c-x²}}\)     e    \(y =g(x)= - { \sqrt{c-x²}}\)

Assim, o resultado a derivada de y em relação a x apenas em termos de x é dado por:

\({dy \over dx}=-{x \over y}\implies {dy \over dx}= \begin{cases} -{x\over f(x)} =-{x\over \sqrt{c-x²}} {}\\ -{x\over g(x)} { =+{x\over \sqrt{c-x²}} {}\\ } \text{} \end{cases} \)