Então, Isaac, eu concordo com praticamente tudo que você disse.
A função que você deu como exemplo:
x se x > 0
f(x) =
-x se x < 0
é na verdade par. Isso dá ver porque
f(x) = f(-x) ⇒ x = -(-x) ∴ x = x, se x é positivo, e
-x = -(x) ∴ x = x, se x é negativo
e isso é uma característica de função par. De qualquer forma, eu tenho quase certeza de que você quis dizer f(x) = x se x > 0 e f(x) = x se x < 0, sem o sinal de menos. Isso sim é uma função ímpar e não dá pra ter ideia de qual o valor de f(0), até mesmo porque ele não está definido.
Agora, se a gente complementar com a segunda parte do exemplo:
x se x ≠ 0
f(x) = {
4 se x = 0
Pra f ser ímpar, ela teria que satisfazer à propriedade f(x) = -f(-x) pra qualquer x em seu domínio. Isso acontece obviamente se x ≠ 0 mas, se x = 0, fica:
f(0) = -f(-0)
4 = -f(0)
4 = -4 (F)
Nesse caso, f não é ímpar, justamente porque não satisfaz à propriedade lá em 0.
Então, basicamente, dá pra juntar tudo e dizer:
"Se 0 faz parte do domínio de uma função ímpar f, então f(0) = 0. Se 0 não faz parte, então não dá pra ter ideia do que é f(0)".
Lamento informar que as duas respostas anteriores estão EQUIVOCADAS. O erro já começou pelo próprio que fez a pergunta, pois confunde PARIDADE NUMÉRICA com PARIDADE FUNCIONAL. As duas respostas anteriores continuam com a MESMA CONFUSÃO.
Um NÚMERO impar se define por sua DIVISIBILIDADE, no entanto uma FUNÇÃO IMPAR se define pelo SINAL DA IMAGEM, não depende da paridade numérica do valor do dominio. Portanto não existe nenhum problema ao usar valores pares, nem impares ou zero para a variavel (X). O fato de que a imagem de zero também dê como resultado outro zero e portanto sem sinal( devido à neutralidade do zero), não implica que a função como um todo possa ser par ou impar. Em outras palavras as funções pares ou impares NÃO ESTÃO PROIBIDAS DE PASSAREM PELA ORIGEM.
A PARIDADE (OU IMPARIDADE) DAS FUNÇÕES NÃO DEPÈNDE DA PARIDADE DOS NÚMEROS, DEPEDE DO SINAL DOS MESMOS.
Considerando que uma função \(f(x)\) qualquer seja ímpar, ela segue a seguinte regra:
\(\Longrightarrow f(x) = -f(-x)\)
Para \(x=0\), tem-se o seguinte:
\(\Longrightarrow f(0) = -f(-0)\)
\(\Longrightarrow f(0) = -f(0)\)
O único valor possível de \(f(0)\) que atende à equação anterior é zero. Portanto, para \(f(x)\) ímpar, o valor de \(f(0)\) é:
\(\Longrightarrow \fbox {$ f(0) = 0 $}\)
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