Calculo 1

Sabemos que f(2) = 1, logo:

f(2) = a/2 + 2b => 1 = a/2 + 2b => 2 = a + 4b  (Primeira equação)

Sabemos também que 2 é um ponto crítico, ou seja, f'(2) = 0

f'(x) = -a/x^2 + b => f'(2) = -a/4 + b => 0 = -a/4 + b => a = 4b (Segunda equação)

Jogando a segunda equação na primeira, temos:

2 = 4b + 4b => b = 1/4

                      a = 1

Acho que é isso, espero ter ajudado

Vamos organizar as informações que temos. Primeiramente, sabemos que:

\(\mathrm{f(x) = {a\over x}+bx}\)  e que f(2)=1

Assim, podemos obter mais dados sobre f(x) se substituirmos o valor x=2, ou seja:

\(\mathrm{f(x) = {a\over x}+bx}\)  para x=2 ⇒ \(\mathrm{f(2) = {a\over 2}+2b=1}\)

Então encontramos uma relação entre a e b, que é: \(\mathrm{{a\over 2}+2b=1}\)   (1)

Precisamos de mais uma equação que relacione a e b para montarmos um sistema linear e encontrarmos seus valores.

Outra informação dada no problema é de que x=2 é ponto crítico de f(x), pelo Teorema de Fermat, isso significa que a derivada da função em relação a x é zero (se ela existir). Ou seja:

\(\mathrm{{df(2)\over dx} = 0}\)    (2)

Vamos calcular a derivada da função em relação a x, temos:

\(\begin{cases} \mathrm{{df(x)\over dx} = {d\over dx}({a\over x}+bx) ​= {d\over dx}({ax^{⁻1}}+bx) \\\implies {d\over dx}{ax^{⁻1}}+{d\over dx}bx=-{a\over x^2}+b}\end{cases}\)    (3)

agora aplicamos a informação contida na equação (2), assim:

\(\mathrm{{df(2)\over dx} ​= -{a\over 2^2}+b=0}\)

\(\implies \mathrm{-{a\over 4}+b=0}\)  (4)

Desta forma, temos o sistema formado pelas equações (1) e (4):

\(\begin{cases} \mathrm{{a\over 2}+2b=1 \quad(1)} \\ \mathrm{-{a\over 4}+b=0\quad (4) } \end{cases} \)

Simpificando a equação (4) encontramos que \(\mathrm{b={a\over 4}}\), usando este resultado em (1), obtemos:

\(\mathrm{{a\over 2}+2\cdot{a\over4}=1 \implies a=1}\)

Portanto, encontramos os valores de a e b, ou seja:

a=1  e \(\mathrm{b={1\over 4}}\)

De forma que podemos reescrever a função colocando os valores de a e b encontrados:

\(\begin{cases}\mathrm{\quad f(x) = \frac{1}{x}+{\frac{1}{4}\over x} \\ \implies f(x)=\frac{1}{x}+{\frac{1}{4x}}}\end{cases}\)

Para descobrirmos se o ponto crítico x=2 e f(2)=1 é um ponto de máximo ou de mínimo devemos calcular a segunda derivada de f(x) neste ponto. Existindo a segunda derivada, se ela for negativa, o ponto crítico é um ponto de máximo, mas se ela for positiva, ele é um ponto de mínimo.

No nosso problema, a derivada de f(x) é dada pela equação (3), já reescrita com os valores de a e b, temos:

\(\begin{cases}\mathrm{{f''(x)={d\over dx}(-{1\over x^2}+\frac{1}{4}})={d\over dx}(-{x^{-2}})+{d\over dx}(\frac{1}{4}) = x^{-3} \\ \implies f''(x)=\frac{1}{x^{3}}}\end{cases}\)

Logo: \(\mathrm{f''(2) = \frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}} \), que é um número positivo

Portanto, o ponto crítico x=2 e f(2)= 1 é um ponto de mínimo da função \(\mathrm{ f(x)=\frac{1}{x}+{\frac{1}{4x}}}\)

Vamos organizar as informações que temos. Primeiramente, sabemos que:

\(\mathrm{f(x) = {a\over x}+bx}\)  e que f(2)=1

Assim, podemos obter mais dados sobre f(x) se substituirmos o valor x=2, ou seja:

\(\mathrm{f(x) = {a\over x}+bx}\)  para x=2 ⇒ \(\mathrm{f(2) = {a\over 2}+2b=1}\)

Então encontramos uma relação entre a e b, que é: \(\mathrm{{a\over 2}+2b=1}\)   (1)

Precisamos de mais uma equação que relacione a e b para montarmos um sistema linear e encontrarmos seus valores.

Outra informação dada no problema é de que x=2 é ponto crítico de f(x), pelo Teorema de Fermat, isso significa que a derivada da função em relação a x é zero (se ela existir). Ou seja:

\(\mathrm{{df(2)\over dx} = 0}\)    (2)

Vamos calcular a derivada da função em relação a x, temos:

\(\begin{cases} \mathrm{{df(x)\over dx} = {d\over dx}({a\over x}+bx) ​= {d\over dx}({ax^{⁻1}}+bx) \\\implies {d\over dx}{ax^{⁻1}}+{d\over dx}bx=-{a\over x^2}+b}\end{cases}\)    (3)

agora aplicamos a informação contida na equação (2), assim:

\(\mathrm{{df(2)\over dx} ​= -{a\over 2^2}+b=0}\)

\(\implies \mathrm{-{a\over 4}+b=0}\)  (4)

Desta forma, temos o sistema formado pelas equações (1) e (4):

\(\begin{cases} \mathrm{{a\over 2}+2b=1 \quad(1)} \\ \mathrm{-{a\over 4}+b=0\quad (4) } \end{cases} \)

Simpificando a equação (4) encontramos que \(\mathrm{b={a\over 4}}\), usando este resultado em (1), obtemos:

\(\mathrm{{a\over 2}+2\cdot{a\over4}=1 \implies a=1}\)

Portanto, encontramos os valores de a e b, ou seja:

a=1  e \(\mathrm{b={1\over 4}}\)

De forma que podemos reescrever a função colocando os valores de a e b encontrados:

\(\begin{cases}\mathrm{\quad f(x) = \frac{1}{x}+{\frac{1}{4}\over x} \\ \implies f(x)=\frac{1}{x}+{\frac{1}{4x}}}\end{cases}\)

Para descobrirmos se o ponto crítico x=2 e f(2)=1 é um ponto de máximo ou de mínimo devemos calcular a segunda derivada de f(x) neste ponto. Existindo a segunda derivada, se ela for negativa, o ponto crítico é um ponto de máximo, mas se ela for positiva, ele é um ponto de mínimo.

No nosso problema, a derivada de f(x) é dada pela equação (3), já reescrita com os valores de a e b, temos:

\(\begin{cases}\mathrm{{f''(x)={d\over dx}(-{1\over x^2}+\frac{1}{4}})={d\over dx}(-{x^{-2}})+{d\over dx}(\frac{1}{4}) = x^{-3} \\ \implies f''(x)=\frac{1}{x^{3}}}\end{cases}\)

Logo: \(\mathrm{f''(2) = \frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}} \), que é um número positivo

Portanto, o ponto crítico x=2 e f(2)= 1 é um ponto de mínimo da função \(\mathrm{ f(x)=\frac{1}{x}+{\frac{1}{4x}}}\)