Vetores e Geometria Analitica

Veja que o coeficiente angular da reta y=5x+3 é 5
A reta perpendicular a esta deve ter coeficiente angular m = -1/5  pois se duas retas são perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares é -1

Logo a reta perpendicular que passa no ponto A(2,3) é dada por:

y-3=-1/5(x-2)  (equação fundamental da reta)

Agora vamos achar a intersecção destas retas (que é o pé da perpendicular referida no enunciado):

Substituindo y = 5x+3 na equação da reta perpendicular, temos:

5x+3-3=-1/5(x-2)   (multiplicando cada termo por 5:)

25x=-x+2
26x=2
x=1/13
e
y = 5/13 + 3 = 44/13

O vetor procurado é obtido:

u=((1/13)-2;(44/13)-3)

u = (-25/13;5/13)

Para encontrarmos o vetor AP, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & y-3=-\frac{1}{4}(x-2) \\ & 5x+3-3=\frac{-1}{5}(x-2) \\ & 25x=-x+2 \\ & 26x=2 \\ & x=\frac{1}{13} \\ & \\ & y=\frac{5}{13}+3 \\ & y=\frac{44}{13} \\ & \\ & u=\left( \frac{1}{13}-2,\frac{44}{13}-3 \right) \\ & u=\left( \frac{-25}{13},\frac{5}{13} \right) \\ \end{align}\ \)

Portanto, o vetor será: \(\boxed{u = \left( {\frac{{ - 25}}{{13}},\frac{5}{{13}}} \right)}\).