como resolvo esta questão?

Vale notar que o centro de massa de um corpo linear é dado por:

CM = {∫(λx)dx}/{∫(λ)dx]      sendo x a posição na barra.

Seja λ = M/L a densidade uniforme da barra constante posso escrever

CM = {∫xdx}/{∫dx} já que λ é constante. Sempre integrando de 0 à L

de modo que

CM = L²/2L = L/2 (meio da barra)

Caso a densidade não seja constante mas sim λ = αx.

Tenho que

CM = {∫(λx) dx}/{∫(λ)dx} = {∫(αx²)dx}/{∫(αx)dx} = {∫(x²)dx}/{∫(x)dx} = 2L/3.

Refaça os cálculos, qualquer problema só falar.

A fórmula do centro de massa no eixo x é:

\(\\x_{CM}=\frac{\int_{0}^{L}{dm.x.dx}}{\int_{0}^{L}dm}\)

Mas \(\\dm=\rho(x).dx\) sendo \(\rho(x)\) a densidade linear.

Substituindo:

\({x_{CM}=\frac{\int_{0}^{L}\rho(x).x.dx}{\int_{0}^{L}\rho(x)dx}}\)

Essa é a resposta da segunda parte, onde a densidade varia.

Se a massa for uniforme, a densidade é uniforme e temos:

\({x_{CM}=\frac{\rho\int_{0}^{L}x.dx}{\rho\int_{0}^{L}dx}\;\;\Rightarrow \;\;\frac{\int_{0}^{L}x.dx}{\int_{0}^{L}dx}=\boxed{\frac{L}{2}}}\)