2) Mostre que o centro de massa de uma barra de massa M e comprimento L fica a meio caminho entre suas extremidades, considerando que ela tenha massa uniforme por unidade de comprimento. Suponha agora que a barra não seja uniforme, de forma que sua densidade linear de massa varie linearmente com x de acordo com a expressão λ = αx, onde α é uma constante. Dessa forma, encontre a coordenada x do centro de massa como uma função de L.
Vale notar que o centro de massa de um corpo linear é dado por:
CM = {∫(λx)dx}/{∫(λ)dx] sendo x a posição na barra.
Seja λ = M/L a densidade uniforme da barra constante posso escrever
CM = {∫xdx}/{∫dx} já que λ é constante. Sempre integrando de 0 à L
de modo que
CM = L²/2L = L/2 (meio da barra)
Caso a densidade não seja constante mas sim λ = αx.
Tenho que
CM = {∫(λx) dx}/{∫(λ)dx} = {∫(αx²)dx}/{∫(αx)dx} = {∫(x²)dx}/{∫(x)dx} = 2L/3.
Refaça os cálculos, qualquer problema só falar.
A fórmula do centro de massa no eixo x é:
\(\\x_{CM}=\frac{\int_{0}^{L}{dm.x.dx}}{\int_{0}^{L}dm}\)
Mas \(\\dm=\rho(x).dx\) sendo \(\rho(x)\) a densidade linear.
Substituindo:
\({x_{CM}=\frac{\int_{0}^{L}\rho(x).x.dx}{\int_{0}^{L}\rho(x)dx}}\)
Essa é a resposta da segunda parte, onde a densidade varia.
Se a massa for uniforme, a densidade é uniforme e temos:
\({x_{CM}=\frac{\rho\int_{0}^{L}x.dx}{\rho\int_{0}^{L}dx}\;\;\Rightarrow \;\;\frac{\int_{0}^{L}x.dx}{\int_{0}^{L}dx}=\boxed{\frac{L}{2}}}\)
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Física Geral e Experimental II
•UFRB
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