Calcule o lim x-> 0 f(x) utilizando o teorema do confronto

Sabendo que 

-1 ≤ sen (π/x) ≤ 1 ; aplicamos a função exponencial em todos os termos;

e^-1 ≤ e^ sen (π/x) ≤ e^1 ; multiplica por senx;

senx*e^-1 ≤ senx*e^ sen (π/x) ≤senx* e^1; calcula os limites dos extremos;

lim senx*e^-1 = lim senx*e^1 = 0

x→0                   x→0

Sejam ,  e  funções reais definidas num domínio  e seja  um ponto deste domínio, tais que:

Então, resulta destas condições que:

logo, 

• lim senx*e^sen(π/x) = 0

  x→0

É isso mesmo, fiz assim mas fiquei com receio de estar errado. Muito obrigado (y)

Pelo teorema do confronto:

\(-1\le \ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)\le \:1\)

Vamos transformar todos em uma potência de e:

\(-1\le \ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)\le \:1\\ e^{-1}\le e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\le e^{1}\)

Agora vamos multiplicar todo mundo por sen(x)

\(e^{-1}\le e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\le e^{1}\\ sen(x) .e^{-1}\le sen(x) .e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\le sen(x) .e^{1}\)

Aplicando os limites:

\(\lim _{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^{-1}\right)\le \lim \:_{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\right)\le \lim \:_{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^1\right)\)

\(\lim _{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^{-1}\right)=\ sen \left(0\right)e^{-1}=0\)

\(\lim _{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^1\right)=\ sen \left(0\right)e^1=0\)

Assim, os dois limites dão zero e portanto 

\(\boxed{\lim _{x\to 0}\left(sen\left(x\right)\cdot \:e^{sen\left(\frac{\pi }{x}\right)}\right)=0}\)