Seja f(x) = sen(x)*e^sen(π/x).
OBS.: Gostaria do passo à passo para compara com o que eu fiz.
Sabendo que
-1 ≤ sen (π/x) ≤ 1 ; aplicamos a função exponencial em todos os termos;
e^-1 ≤ e^ sen (π/x) ≤ e^1 ; multiplica por senx;
senx*e^-1 ≤ senx*e^ sen (π/x) ≤senx* e^1; calcula os limites dos extremos;
lim senx*e^-1 = lim senx*e^1 = 0
x→0 x→0
Sejam , e funções reais definidas num domínio e seja um ponto deste domínio, tais que:
Então, resulta destas condições que:
logo,
lim senx*e^sen(π/x) = 0
x→0
Pelo teorema do confronto:
\(-1\le \ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)\le \:1\)
Vamos transformar todos em uma potência de e:
\(-1\le \ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)\le \:1\\ e^{-1}\le e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\le e^{1}\)
Agora vamos multiplicar todo mundo por sen(x)
\(e^{-1}\le e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\le e^{1}\\ sen(x) .e^{-1}\le sen(x) .e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\le sen(x) .e^{1}\)
Aplicando os limites:
\(\lim _{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^{-1}\right)\le \lim \:_{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^{\ sen \left(\frac{\pi }{x}\right)}\right)\le \lim \:_{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^1\right)\)
\(\lim _{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^{-1}\right)=\ sen \left(0\right)e^{-1}=0\)
\(\lim _{x\to \:0}\left(\ sen \left(x\right)e^1\right)=\ sen \left(0\right)e^1=0\)
Assim, os dois limites dão zero e portanto
\(\boxed{\lim _{x\to 0}\left(sen\left(x\right)\cdot \:e^{sen\left(\frac{\pi }{x}\right)}\right)=0}\)
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