Pelo enunciado, tem-se as seguintes transformações lineares:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} L(1,1)=(1,-2) \\ L(-1,1) = (2,3) \end{matrix} \right.\)

Sendo \(a\) e \(b\) duas constantes, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow (x,y) = a(1,1) + b(-1,1)\)   \((I)\)

Com isso, tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow (x,y) = (a,a) + (-b,b)\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} a-b=x \\ a+b=y \end{matrix} \right.\)

Portanto, pelo sistema de equações, as expressões de \(a\) e \(b\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a={x+y \over 2} \\ b={y-x \over 2} \end{matrix} \right.\)

Portanto, a equação \((I)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (x,y) = a(1,1) + b(-1,1)\)

\(\Longrightarrow (x,y) = {x+y \over 2}(1,1) + {y-x \over 2}(-1,1)\)

Aplicando a transformação linear \(L\) na equação anterior, a equação de \(L(x,y)\) é:

\(\Longrightarrow L(x,y) = {x+y \over 2}\cdot L(1,1) + {y-x \over 2} \cdot L(-1,1)\)

\(\Longrightarrow L(x,y) = {x+y \over 2}\cdot (1,-2) + {y-x \over 2} \cdot (2,3)\)

\(\Longrightarrow L(x,y) = ({1 \over 2}x + {1 \over 2}y,-x-y) + (y-x,{3 \over 2}y-{3 \over 2}x)\)

\(\Longrightarrow L(x,y) = (-{1 \over 2}x + {3 \over 2}y,-{5 \over 2}x+{1 \over 2}y)\)

\(\Longrightarrow \underline{ L(x,y) = \Big ({-x+3y \over 2},{-5x+y \over 2} \Big ) }\)           \((II)\)

a)

Pela equação \((II)\), a transformação linear \(L(-1,3)\) é:

\(\Longrightarrow L(-1,3) = \Big ({-(-1)+3\cdot 3 \over 2},{-5\cdot (-1)+3 \over 2} \Big)\)

\(\Longrightarrow L(-1,3) = \Big ({1+9 \over 2},{5+3 \over 2} \Big)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ L(-1,3) = (5,4) $}\)

b)

Pela equação \((II)\), a transformação linear \(L(a_1,a_2)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ L(a_1,a_2) = \Big ({-a_1+3a_2 \over 2},{-5a_1+a_2 \over 2} \Big ) $ }\)