Exercício 4.51 - Sears - 12 edição

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre movimento retilíneo. Para isso, será utilizada a Equação de Torricelli, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow v^2=v_0^2+2a(s-s_0)\)

Sendo \(v\) a velocidade final, \(v_0\) a velocidade inicial, \(a\) a aceleração, \(s\) a posição final e \(s_0\) a posição inicial.

Além disso, o valor da gravidade que será adotado no exercício é:

\(\Longrightarrow g=9,81 \space \mathrm {m/s^2}\)

(a)

Primeiro, será calculada a velocidade do homem no momento de contato com o solo. Para isso, será adotado como sentido positivo o sentido +y, ou seja, o sentido de baixo para cima. E a posição de referência \(s=0\) será o solo.

Na posição inicial \(s_{0,y}=3,10 \mbox{ m}\), o homem se encontra no repouso. Como o homem parte do repouso, sua velocidade inicial é \(v_{0,y}=0 \space \mathrm {m/s}\).  Além disso, pelo sentido adotado, sua aceleração inicial é:

\(\Longrightarrow a_y=-g\)

\(\Longrightarrow a_y=-9,81 \space \mathrm {m/s^2}\)

Sendo \(s_y=0 \mbox { m}\) a posição final do homem (ou seja, no solo), o valor da sua velocidade final é:

\(\Longrightarrow v_y^2=v_{0,y}^2+2a_y(s_y-s_{0,y})\)

\(\Longrightarrow v_y^2=0^2+2(-9,81)(0-3,1)\)

\(\Longrightarrow v_y=\sqrt {2(-9,81)(-3,1)}\)

\(\Longrightarrow v_y=\pm 7,8 \space \mathrm {m/s}\)

Como a velocidade é de cima para baixo, tem-se que \(v_y<0\) em relação ao sentido adotado no exercício. Portanto, a velocidade do homem no momento de contato com o solo é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ v_y=-7,8 \space \mathrm {m/s} $}\)

(b)

Agora, será calculada a aceleração do homem ao diminuir a velocidade após o contato com o solo.

Ao chegar ao solo, o homem se desloca de cima para baixo quando dobra os joelhos, ou seja, contrário ao sentido positivo adotado. Portanto, a variação de sua posição no solo é:

\(\Longrightarrow s_y-s_{0,y}=-0,6 \mbox{ m}\)

Analisando o momento no qual o homem dobra os joelhos até voltar ao repouso, a velocidade final \(v_y\) da letra a) torna-se a velocidade inicial da letra b). Portanto, nessa análise, a velocidade inicial e final do homem são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{0,y}=-7,8 \space \mathrm {m/s}\\ v_y = 0 \space \mathrm {m/s} \end {matrix} \right.\)

Portanto, pela Equação de Torricelli, a aceleração do homem após tocar o solo é:

\(\Longrightarrow v_y^2=v_{0,y}^2+2a_y(s_y-s_{0,y})\)

\(\Longrightarrow 0^2=(-7,8)^2+2a_y(-0,6)\)

\(\Longrightarrow 2a_y \cdot 0,6=(-7,8)^2\)

\(\Longrightarrow a_y = { (-7,8)^2 \over 2 \cdot 0,6}\)

\(\Longrightarrow a_y = 50,685 \space \mathrm {m/s^2}\)

Como \(a_y = +50,685 >0\), seu sentido é de baixo para cima, assim como o sentido positivo adotado.

Concluindo, a aceleração do homem ao diminuir a velocidade é:

\(\Longrightarrow \fbox {$a_y = +50,685 \space \mathrm {m/s^2} $}\)

(c)

Agora, será calculada a força exercida pelo homem quando o mesmo diminui de velocidade no solo. Para isso, será utilizada a Equação da Segunda Lei de Newton, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow \sum \overrightarrow F=m\cdot a\)

Sendo \(\sum \overrightarrow F\) a força resultante sobre o corpo, \(m\) a massa e \(a\) a aceleração.

Será realizada a análise do diagrama de corpo livre. No momento de contato com o solo, as forças que atuam sobre o homem são a força normal \(\overrightarrow{ F_N}\) (orientada no sentido +y) e a força-peso \(\overrightarrow P\) (orientada no sentido -y). Portanto, a equação de Newton para o eixo +y fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N}+ \overrightarrow P=m\cdot a\)

A aceleração \( a_y = +50,685 \space \mathrm {m/s^2}\) já foi calculada na letra (b). Sabendo que a equação do peso é \(\overrightarrow P=-m \cdot g\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N} -m \cdot g=m\cdot a_y\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N}=m\cdot( a_y+g)\)

O exercício pede que o resultado seja expresso em newtons e como múltiplo do peso do homem. Portanto, pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N}={m\cdot( a_y+g) \over P}P\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N}={m\cdot( a_y+g) \over m \cdot g}P\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N} ={ a_y+g \over g}P\)

Substituindo \(a_y = 50,685 \space \mathrm {m/s^2}\) e \(g=9,81 \space \mathrm {m/s^2}\), o vetor \(\overrightarrow {F_N}\) em função de \(P\) é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N} ={ 50,685+9,81 \over 9,81}P\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F_N}=6,17P \space \mathrm {N} \)

Porém, é necessário lembrar que \(\overrightarrow {F_N}\) é o vetor de força que o solo exerce no homem. Pelo Princípio de Ação e Reação, a força que o homem exerce no solo é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow {F}=-\overrightarrow {F_N}\)

\(\Longrightarrow \fbox{ $ \overrightarrow {F}=-6,17P \space \mathrm {N} $}\)