os vetores a=(2 -1 -3) b=(-1 1 -4) e c=(m+1,m, -1) determine um paralelepipedo de volume 42. calcule valor de m

Fazendo o determinante entre os vetores encontramos -2+4m+4+3m-(-3m-3)-(-8)-(-1)=42  logo 18m+6=42 então m=36/18=2

Sabemos que o volume do paralelepipedo é dado pelo produto misto

Ou seja: 

\(\overrightarrow{c}.[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}]\)

Note que:

\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\[0.3em] 2 & -1 & -3 \\[0.3em] -1 & 1 & -4 \end{vmatrix} \\=7\widehat{i}+11\widehat{j}+\widehat{k}\)

Assim, temos que:

\((m+1,m,-1).(7,11,1)=42\)

Logo, temos que:

\(7(m+1)+11m-1=42\)

portanto, podemos concluir que:

\(m=2\)