Calcular derivada parcial.

Primeiro substitui x por t, pra n confundir na hora das parcias

então ∀t, f(3t,t³)=arctg t

a) derivando dos dois lados da equação  df/dt=1/1+t²     ... (1)

como df/dt = (∂f/∂x , ∂f/∂y) . (3 , 3t²) = 3∂f/∂x + t²3∂f/∂y

substituindo em (1) ⇒ 3∂f/∂x + t²3∂f/∂y = 1/1+t²

(3t,t³)=(3,1) , logo t=1, aplicando no ponto (3,1) e substituindo t por 1 na equação

3∂f/∂x(3,1) + 1²3∂f/∂y(3,1)=1/2

3∂f/∂x(3,1) + 3.2=1/2

3∂f/∂x(3,1)=1/2 -6

∂f/∂x(3,1)=-11/6

b)Pt=(3,1,f(3,1))

f(3,1)=arctg 1 = π/4

H(x,y,z)=f(x,y) - z = 0  ⇔ z = f(x,y)

ou seja a superficie de nível H(x,y,z)=0 é o próprio gráfico da f(x,y)

H(x,y,z)=f(x,y) - z

H(x,y,z)= arctg t - z

∇H(x,y,z)=(∂f/∂x ,  ∂f/∂y ,  ∂f/∂z) 

∇H(3,1,π/4)=(-11/6 , 2 , -1)

Eq do plano

[(x,y,z) - (3,1,π/4)] . (-11/6 , 2, -1) = 0

PS:
Respostas:
a) -(11/6)
b) z - pi/4 = - (11/6) (x-3) + 2(y-1)

Eu estou interessado no passo-a-passo, se alguém tiver paciência e puder me ajudar eu agradeço! :)

Consegui entender, muito obrigado! :)