Alguém pode me ajudar?

Vamos determinar um ponto no plano \(\pi\) cuja reta que passa por ele e pelo ponto P dado é paralela à reta r dada.

Para isso, temos o vetor diretor da reta dada:

\(\vec{v}=\lambda(1,4,1)\)

que deve ser o mesmo da nossa reta. Vamos criar um ponto geral procurado:

\(X = (2z-y+1,y,z)\)

Temos, então:

\(\vec{v}=X-P\)

Substituindo os valores, temos:

\(\lambda(1,4,1)=(2z-y+1,y,z)-(1,4,0)=(2z-y,y-4,z)\)

Dessa forma temos o seguinte sistema de equações:

\(\left\{\begin{align} 2z-y&=\lambda\\ y-4&=4\lambda\Rightarrow y=4\lambda+4\\ z&=\lambda \end{align}\right.\)

Substituindo as duas últimas equações na primeira, temos:

\(2\lambda-(4\lambda+4)=\lambda\Rightarrow \lambda=-{4\over3}\)

Substituindo nas duas últimas equações, temos:

\(\left\{\begin{align} y&=4\left(-{4\over3}\right)+4=-{4\over3}\\ z&=-{4\over3} \end{align}\right.\)

Vaoltando à expressão do ponto procurado, temos:

\(X = \left[2\left(-{4\over3}\right)-\left(-{4\over3}\right)+1,\left(-{4\over3}\right),\left(-{4\over3}\right)\right]\Rightarrow \boxed{X = \left(-{1\over3},-{4\over3},-{4\over3}\right)}\)

Sim