calculo infinitesimal

Consideradas as condições definidoras para um infinitesimal ε como sendo ε ≠ 0 e ε2 = 0. Se considerarmos elementos da forma a + bε e c + dε, onde a, b, c, d são números reais, as definições de adição e multiplicação são dadas por (a + c) + (b + d) ε e ac + (ad + bc) ε. Estas operações podem ser reexpressas em termos de pares de ordens como (a, b) + (c, d) = ((a + c), (b + d)) e (a, b) * (c, d) = ( ac, (ad + bc)). Esta adição é obviamente associativa e comutativa. Existe a identidade aditiva de (0,0) e o inverso aditivo de (a, b) é (-a, -b). A associatividade da multiplicação se dá porque:

\(\[\begin{align} & \left( \left( a,\text{ }b \right)\text{ }*\text{ }\left( c,\text{ }d \right) \right)\text{ }*\text{ }\left( e,\text{ }f \right)\text{ }=\text{ }\left( ac,\text{ }ad\text{ }+\text{ }bc \right)\text{ }*\text{ }\left( e,\text{ }f \right)\text{ }=\text{ }\left( ace,\text{ }acf\text{ }+\text{ }bce \right)que\text{ }\acute{e}\text{ }o\text{ }mesmo\text{ }que \\ & \left( a,\text{ }b \right)\text{ }*\text{ }\left( \left( c,\text{ }d \right)\text{ }*\text{ }\left( e,\text{ }f \right) \right)\text{ }=\text{ }\left( a,\text{ }b \right)\text{ }*\text{ }\left( ce,\text{ }cf\text{ }+\text{ }de \right))\text{ }=\text{ }\left( ace,\text{ }acf\text{ }+\text{ }bce \right) \\ \end{align}\] \)

A identidade para multiplicação é (1,0). O problema está em encontrar um inverso multiplicativo para cada elemento diferente de (0,0). Em particular, qual poderia ser o inverso multiplicativo de (0,1)?

A área matemática chamada formas diferenciais estabelece um sistema no qual o quadrado de um diferencial é zero.