Usando coordenadas cilíndricas, temos as seguintes equações da superfícies limitantes:

\(\left\{\begin{align} \rho&=1\\ z&=0\\ z&=2-\rho\ cos\ \varphi-\rho\ sen\ \varphi \end{align}\right.\)

Para o diferencial de volume, temos:

\(dx\ dy\ dz=\rho\ d\rho\ d\varphi\ dz\)

Integrando, temos:

\(V=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{2-\rho\ cos\ \varphi-\rho\ sen\ \varphi} \rho\ dz\ d\rho\ d\varphi\)

Integrando em \(z\), temos:

\(V=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho\left[z\right]_0^{2-\rho\ cos\ \varphi-\rho\ sen\ \varphi}\ d\rho\ d\varphi=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho(2-\rho\ cos\ \varphi-\rho\ sen\ \varphi)\ d\rho\ d\varphi=\int_0^{2\pi}\int_0^1 2\rho-\rho^2cos\ \varphi-\rho^2sen\ \varphi\ d\rho\ d\varphi\)

Integrando em \(\rho\), temos:

\(V=\int_0^{2\pi} \left[\rho^2-{1\over3}\rho^3cos\ \varphi-{1\over3}\rho^3sen\ \varphi\right]_0^1\ d\varphi=\int_0^{2\pi} 1-{1\over3}cos\ \varphi-{1\over3}sen\ \varphi\ d\varphi\)

Integrando em \(\varphi\), temos:

\(V=\left[\varphi-{1\over3}sen\ \varphi+{1\over3}cos\ \varphi\right]_0^{2\pi} =(2\pi-{1\over3}sen\ 2\pi+{1\over3}cos\ 2\pi)-(0-{1\over3}sen\ 0+{1\over3}cos\ 0)\)

Temos, portanto:

\(\boxed{V=2\pi}\)