Como calcular derivadas parciais usando Regra da Cadeia

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Neste exercício, será utilizada a Regra da Cadeia para calcular as derivadas \({df \over dr}\) e \({df \over ds}\).

Primeiro, para calcular \({df \over dr}\), a equação da Regra da Cadeia está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow {df \over dr} = {df \over du}{du \over dr}+{df \over dv}{dv \over dr}\)     \((I)\)

É necessário calcular as derivadas do lado direito da equação anterior. Sendo \(f=u^2+2uv\), a derivada de \(f\) em \(u\) e \(v\) é:

\(\Longrightarrow {df \over du} ={d\over du}(u^2+2uv)=2u+2v\)    \(\rightarrow {df \over du} =2u+2v\)    \((II)\)

\(\Longrightarrow {df \over dv} ={d\over dv}(u^2+2uv)=0+2u\)      \(\rightarrow {df \over dv} = 2u\)             \((III)\)

Sendo \(u=r \ln x\) e \(v=2r+s\), suas derivadas em \(r\) são:

\(\Longrightarrow {du \over dr} ={d \over dr}(r \ln x) = \ln x\)    \(\rightarrow {du \over dr} = \ln x\)      \((IV)\)

\(\Longrightarrow {dv \over dr} ={d \over dr}(2r+s) = 2\)      \(\rightarrow {dv \over dr} = 2\)           \((V)\)

Substituindo as equações \((II)\), \((III)\), \((IV)\) e \((V)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {df \over dr} = {df \over du}{du \over dr}+{df \over dv}{dv \over dr}\)

\(\Longrightarrow {df \over dr} = (2u+2v)\ln x + 2u\cdot 2\)

\(\Longrightarrow {df \over dr} = (2u+2v)\ln x + 4u\)

Agora, para calcular \({df \over ds}\), a equação da Regra da Cadeia está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow {df \over ds} = {df \over du}{du \over ds}+{df \over dv}{dv \over ds}\)    \((VI)\)

Sendo \(u=r \ln x\) e \(v=2r+s\), suas derivadas em \(s\) são:

\(\Longrightarrow {du \over ds} ={d \over ds}(r \ln x) = 0\)       \(\rightarrow {du \over ds} = 0\)      \((VII)\)

\(\Longrightarrow {dv \over ds} ={d \over ds}(2r+s) = 1\)     \(\rightarrow {dv \over ds} = 1\)      \((VIII)\)

Substituindo as equações \((II)\), \((III)\), \((VII)\) e \((VIII)\) na equação \((VI)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {df \over ds} = {df \over du}{du \over ds}+{df \over dv}{dv \over ds}\)

\(\Longrightarrow {df \over ds} = (2u+2v)(0) + 2u\cdot 1\)

\(\Longrightarrow {df \over ds} = 2u\)

Concluindo, pela Regra da Cadeia, as derivadas \({df \over dr}\) e \({df \over ds}\) são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ {df \over dr} = (2u+2v)\ln x + 4u $}\)

\(\Longrightarrow \fbox{$ {df \over ds} = 2u $}\)