Buscar

Como calcular derivadas parciais usando Regra da Cadeia

a) f(x,y)= u² + 2uv 

com

U = r ln x  &  V= 2r + s 

calcular ∂f/∂r  &  ∂f/∂s

💡 1 Resposta

User badge image

Gabrieli Kofahl

http://www.estudar.info/engenheiro-tem-que-estudar/calculo-diferencial-e-integral-ii/05-derivadas-parciais/04-regra-da-cadeia-para-derivadas-parciais-metodo-da-arvorezinha/01-exercicio-resolvido-regra-da-cadeia-para-derivadas-parciais/

0
Dislike0
User badge image

RD Resoluções

Neste exercício, será utilizada a Regra da Cadeia para calcular as derivadas \({df \over dr}\) e \({df \over ds}\).


Primeiro, para calcular \({df \over dr}\), a equação da Regra da Cadeia está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow {df \over dr} = {df \over du}{du \over dr}+{df \over dv}{dv \over dr}\)     \((I)\)


É necessário calcular as derivadas do lado direito da equação anterior. Sendo \(f=u^2+2uv\), a derivada de \(f\) em \(u\) e \(v\) é:

\(\Longrightarrow {df \over du} ={d\over du}(u^2+2uv)=2u+2v\)    \(\rightarrow {df \over du} =2u+2v\)    \((II)\)

\(\Longrightarrow {df \over dv} ={d\over dv}(u^2+2uv)=0+2u\)      \(\rightarrow {df \over dv} = 2u\)             \((III)\)


Sendo \(u=r \ln x\) e \(v=2r+s\), suas derivadas em \(r\) são:

\(\Longrightarrow {du \over dr} ={d \over dr}(r \ln x) = \ln x\)    \(\rightarrow {du \over dr} = \ln x\)      \((IV)\)

\(\Longrightarrow {dv \over dr} ={d \over dr}(2r+s) = 2\)      \(\rightarrow {dv \over dr} = 2\)           \((V)\)


Substituindo as equações \((II)\)\((III)\)\((IV)\) e \((V)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {df \over dr} = {df \over du}{du \over dr}+{df \over dv}{dv \over dr}\)

\(\Longrightarrow {df \over dr} = (2u+2v)\ln x + 2u\cdot 2\)

\(\Longrightarrow {df \over dr} = (2u+2v)\ln x + 4u\)


Agora, para calcular \({df \over ds}\), a equação da Regra da Cadeia está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow {df \over ds} = {df \over du}{du \over ds}+{df \over dv}{dv \over ds}\)    \((VI)\)


Sendo \(u=r \ln x\) e \(v=2r+s\), suas derivadas em \(s\) são:

\(\Longrightarrow {du \over ds} ={d \over ds}(r \ln x) = 0\)       \(\rightarrow {du \over ds} = 0\)      \((VII)\)

\(\Longrightarrow {dv \over ds} ={d \over ds}(2r+s) = 1\)     \(\rightarrow {dv \over ds} = 1\)      \((VIII)\)


Substituindo as equações \((II)\)\((III)\)\((VII)\) e \((VIII)\) na equação \((VI)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {df \over ds} = {df \over du}{du \over ds}+{df \over dv}{dv \over ds}\)

\(\Longrightarrow {df \over ds} = (2u+2v)(0) + 2u\cdot 1\)

\(\Longrightarrow {df \over ds} = 2u\)


Concluindo, pela Regra da Cadeia, as derivadas \({df \over dr}\) e \({df \over ds}\) são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ {df \over dr} = (2u+2v)\ln x + 4u $}\)

\(\Longrightarrow \fbox{$ {df \over ds} = 2u $}\)

0
Dislike0

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis


✏️ Responder

SetasNegritoItálicoSublinhadoTachadoCitaçãoCódigoLista numeradaLista com marcadoresSubscritoSobrescritoDiminuir recuoAumentar recuoCor da fonteCor de fundoAlinhamentoLimparInserir linkImagemFórmula

Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.

User badge image

Perguntas relacionadas

Materiais relacionados

Materiais recentes

Perguntas Recentes