Demonstração:
Como N é ímpar, então podemos afirmar que N=4A+1
Desta forma, N^2=(4A+1)(4A+1)=16A^2+4A+4A+1=16A^2+8A+1=8(2A^2+A)+1.
Sendo assim, no lugar de N^2 podemos colocar 8(A^2+A)+1, temos então que 8(A^2+A)+1 é congruente com 1 (mod 8). O que é verdade, pois 8|8(A^2+A)+1-1=8(A^2+A)/8=(A^2+A).
Portanto se N é ímpar, então N^2 é congruente com 1(mod 8).
Se \(n\) é ímpar, podemos ter:
\(n \equiv 1 \mod 8 \\ n \equiv 3 \mod 8 \\ n \equiv 5 \mod 8 \\ n \equiv 7 \mod 8\)
Como \(a \equiv b \mod c \to a^k \equiv b^k \mod c\) para qualquer k inteiro, podemos analisar os quatro casos anteriores:
\(n^2 \equiv 1^2 \mod 8 \\ n^2 \equiv 1 \mod 8\)
\(n^2 \equiv 9 \mod 8 \\ n^2 \equiv (8+1) \mod 8 \\ n^2 \equiv 1 \mod 8\)
\(n^2 \equiv 25 \mod 8 \\ n^2 \equiv (3 \cdot 8 + 1) \mod 8 \\ n^2 \equiv 1 \mod 8\)
\(n^2 \equiv 49 \mod 8 \\
n^2 \equiv (6 \cdot 8 + 1) \mod 8 \\
n^2 \equiv 1 \mod 8\)
Logo, pela exaustão de possibilidades, se \(n\) é ímpar, então \(n^2 \equiv 1 \mod 8\).
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