pergunta 5 da prova discursiva

y'= Y²+2-2xy / X²+2-2xy

Seja:

\(\left(x^2+2\right)y=\left(y^2+2\right)x\)

Vamos derivar ambos os lados da equação com relação a x:

\(\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2\right)y\right)=\frac{d}{dx}\left(\left(y^2+2\right)x\right)\)

Vamos aplicar a regra do produto para derivar a equação do lado esquerdo:

\(\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+2\right)y\right)\\ \frac{d}{dx}\left(x^2+2\right)y+\frac{d}{dx}\left(y\right)\left(x^2+2\right)\\ 2xy+\frac{d}{dx}\left(y\right)\left(x^2+2\right)\)

Da mesma forma, derivando o lado direito da equação:

\(\frac{d}{dx}\left(\left(y^2+2\right)x\right)\\ \frac{d}{dx}\left(y^2+2\right)x+\frac{d}{dx}\left(x\right)\left(y^2+2\right)\\ 2y\frac{d}{dx}\left(y\right)x+1\cdot \left(y^2+2\right)\\ 2xy\frac{d}{dx}\left(y\right)+y^2+2\)

Assim:

\(2xy+\frac{d}{dx}\left(y\right)\left(x^2+2\right)=2xy\frac{d}{dx}\left(y\right)+y^2+2\)

Isolando \(\frac{d}{dx}\left(y\right)\)

\(\frac{d}{dx}\left(y\right)(x^2+2)-2xy\frac{d}{dx}\left(y\right)=y^2+2-2xy\\ \frac{d}{dx}\left(y\right)(x^2+2-2xy)=y^2+2-2xy\\ \frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{y^2+2-2xy}{x^2+2-2xy}\)

Portanto:

\(\boxed{\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{y^2+2-2xy}{x^2+2-2xy}}\)