A reta 8x - y + 3 = 0 é paralela a reta (r) tangente ao gráfico da curva y = 2x2 + 3. Podemos, então, afirmar que a equação da reta (r) é dada por

Olá,

Acho que é assim: Retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular.

Na reta 8x - y + 3 = 0 temos que y = 8x + 3, o coeficiente angular é o valor que acompanha o x neste caso 8.

Para encontrar a  reta tangente a curva y= 2 x² + 3 → f(x) = 2 x² + 3 temos que calcular a derivada f'(x) = 4x, a derivada é o coeficiente angular da reta, logo

f'(x) = 4x
f'(x) = 8
8 = 4x → x = 2

Em f(x) = 2 x² + 3 temos f(2) = 2 (2)² + 3 = 8 + 3 = 11. Então a reta tangente está tangenciando a curva no ponto P=(2 , 11).

y - yp = f'(xp) · (x - xp)
y - 11 = 8  · (x - 2)
y = 8  · x - 16 + 11
y = 8  · x - 5

Espero que esteja correto. Bons estudos!

Muito obrigado

Seja

\(r: y-y0=m(x-x0)\)

Para que ela seja paralela a reta \(s: 8x-y+3\) a condição : \(m_s= m_r\) ou seja, suas inclinações devem ser iguais.

Rearranjando a reta \(s\), temos:

\(s: 8x-y+3\\ y=8x+3\)

Vemos que \(m_s=8\)

Assim:

\(m_s= m_r=8\)

Como a reta r é tangente a reta \(y=2x^2+3\) ao derivamos ela obteremos a inclinação da reta \(r\):

\(y=2x^2+3\\ y'=4x\)

Mas \(m_s= m_r=8\)

Assim: \(4x=8\\ x=2\)

Assim, sabemos que pelo menos um ponto dessa reta é \(x=2\)

Como a reta \(r\) tangencia \(y=2x^2+3\), podemos fazer:

\(y=2x^2+3\\ y=2.(2^2)+3\\ y=8+3\\ y=11\)

Assim a equação \(r\) é:

\(r: y-y0=m(x-x0)\\ r: y-11=8(x-2)\\ r: y=8x-16+11\\ \boxed{y=8x-5\\}\)