Se a circunferência x2 + y2 - 4x - 6y + K = 0 possui raio R = 2, determine o valor de K.

Olá, acho que é assim ...

Equação da circunferência de raio R e centro C= (xc , yc):

(x - xc)² + (y - yc)² = R²

Então

x² + y² - 4x - 6y + k = 0

x² + y² - 4x - 6y = -k

x² + - 4x + y² - 6y = - k

Completando os quadrados

x² + - 4x + 4 - 4 + y² - 6y + 9 - 9 = - k

x² + - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = - k + 4 + 9

(x - 2)² + (y - 3)² = - k + 13

Na realidade temos: (x - 2)² + (y - 3)² = R² → (x - 2)² + (y - 3)² = 2² , então:

 - k + 13 = 4 → k = 13 - 4 = 9

Espero que esteja correto. Bons estudos!

\(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \\ y^2 -6y + 9 = (y - 3)^2\)

Logo, devemos somar em ambos os lados da equação +13:

\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 + K = 13 \\ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 - K\\\)

Para que o raio seja 2, \(13 - K = 2^2\):

\(K = 13 - 4 \\ \boxed{K = 9}\)