Exercicio de sistema de massa variavel

Para resolver a questão, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton:

\(F = \frac{dQ}{dt}\\ F=\frac{d(mv)}{dt}\\ F=m_{c}\frac{dv}{dt} +v\frac{dm_{a}}{dt}\\ \frac{dv}{dt} + \frac{b}{m_{c}}v=\frac{F}{m_{c}}\)

\(\mu(t) = e^{\int\frac{b}{m}dt}\\ v(t) = e^{-\frac{bt}{m}}\int{\frac{F}{m}e^{\frac{bt}{m}}+C}\\ v(t) = -\frac{F}{b}e^{-\frac{bt}{m}+\frac{F}{b}}\\ v_{max} = v'(0)\\ v_{max} = \frac{F}{m}\)

Vê se vc concorda com essa solução

A aceleração do vagão é uma função do tempo: a(t) = F/m(t), sendo F constante e m outra função do tempo. 

a(t) = F/(m_c + m_a - bt)

Primeiro vamos encontrar o instante em que a massa de areia se anula:

m_a - bt = 0 => t=m_a/b

Vamos fazer a integral de a(t)dt pra achar a função da velocidade.

Obs₁: Vou chamar a integral de intg pq nao sei colocar aqui rs

intg(a(t).dt) = intg[ F.dt/(m_c+m_a - bt) ]

v(t) = -F.(1/b).ln(m_c+m_a-bt) + C

v(0) = 0 => C = F.ln(m_c+m_a)/b

Logo: 

v(m_a/b) = -F.ln(m_c)/b + F.ln(m_c+m_a)/b

v(m_a/b)= (F/b)[ln(1+m_a/m_c)]

Obs₂: Acho q oq eu chamei de b na verdade é o módulo de b, porque dm_a/dt é negativo.

Obs3: Posso ter errado alguma conta aqui na pressa, mas espero que não tenha erro conceitual rs