Como calcular essa integral? Por favor

x-1=u^2

dx=2udu

x=u^2+1

logo, quero integral de ---------->  (u^2+1)*u*2*u*du, daí vira uma integral simples, ai ve se tu consegue... só pra n dar a resposta logo

Mano, primeiramente tu faz o seguinte.
Coloca u= x-1, tlgd?
Depois tu faz, como u=x-1, então obviamente x=u-1, saca?
Então faz, como u=x-1, então du=dx.
Logo em seguida é simples. Substitui. Fica ∫(u-1)√u du. Aplica fator distributivo nessa parada:

∫u√u - √u du. Entendeu até aí?

Beleza, sabendo que u√u = u³/² e √u = u½, então:

∫u^3/2 du - ∫u^1/2du. 
Entendeu? Agora resolve integral normalmente. Ficará : (2u^(5/2))/5 + (2u^(3/2))/3 + κ (sendo κ uma constante de integração)


Agora substitui u por x-1 e dará o resultado esperado.

Espero ter ajudado :D