Considere o conjunto B = {w1, w2}, sendo w1 = (1, 0, −2) e w2 = (1, 1, 1). Verifique se B é um conjunto ortonormal.

Diremos que B = {w1, w2} é uma base ortogonal se {w1, w2} é base tal que o produto interno de w1 com w2 é zero, ou seja, w1·w2 = 0.

Além disso, B será base ortonormal se for base ortogonal e a norma de w1 e w2 for 1, isso é, ||w1|| = ||w2|| = 1.

• Calculando o produto interno de w1 com w2:

w1 = (1, 0, -2) ; w2 = (1, 1, 1)

w1·w2 = (1*1) + (0*1) + ((-2)*1) = 1 - 2 = -1.

Portanto, B não é base ortogonal.

Podemos modificar B de inúmeras maneiras para que o produto interno de w1 e w2 seja zero. A mais conveniente, a meu ver, é alterar w1 para a1 = (1, 0, -1). Assim, A = {a1, a2}, onde a1 = (1, 0, -1) e a2 = w2 = (1, 1, 1).

• Calculando o produto interno de a1 com a2:

a1 = (1, 0, -1) ; a2 = (1, 1, 1)

a1·a2 = (1*1) + (0*1) + ((-1)*1) = 1 - 1 = 0

Portanto, A é base ortogonal.

• Calculando a norma de a1 e a2:

||a1|| = [(1)² + (0)² + (-1)²]^(½) = (2)^(½)

||a2|| = [(1)² + (1)² + (1)²]^(½) = (3)^(½)

Chame b1 o vetor unitário de a1 denotado por a1⁄||a1|| e b2 o vetor unitário de a2 denotado por a2⁄||a2||.

b1 = a1⁄||a1|| ; b2 = a2⁄||a2||

Dessa maneira, o novo conjunto B= {b1, b2} é base ortornormal pois b1·b2 = 0 e ||b1|| = ||b2|| = 1.

Espero ter ajudado! :)

Para verificarmos se B é um conjunto ortonormal, seu produto deve ser igual a 1. Sendo assim, temos:

\(\begin{align} & {{w}_{1}}=(1,0,-2) \\ & {{w}_{2}}=(1,1,1) \\ & \\ & u\cdot v=|1| \\ & {{w}_{1}}\cdot {{w}_{2}}=|1| \\ & \left| {{w}_{1}}\cdot {{w}_{2}} \right|=|1| \\ & \left| (1,0,-2)\cdot (1,1,1) \right|=|1| \\ & \left| 1+0-2 \right|=|1| \\ & \left| 1-2 \right|=|1| \\ & \left| -1 \right|=|1| \\ & 1=1 \\ \end{align}\ \)

Portanto, os vetores são ortonormais.