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Como calcular essa integral definida

x²/4x² +1dx

Os limites são [0,1].

Essa é uma questão da prova de transferência da unifei. A resposta é 4-π/32.

Obrigado


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para encontrar a integral dada temos que realizar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{f(x)=\int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}} \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=\left[ \frac{x}{4}-\frac{1}{8}{{\tan }^{-1}}2x \right]_{0}^{1} \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=\left[ \frac{1}{4}-\frac{1}{8}{{\tan }^{-1}}2\cdot 1 \right]-\left[ \frac{0}{4}-\frac{1}{8}{{\tan }^{-1}}2\cdot 0 \right] \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{4}-7,92 \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=-7,67 \\ \end{align} \)

Portanto, o valor da integral dada será \(\boxed{ - 7,67}\).

Para encontrar a integral dada temos que realizar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{f(x)=\int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}} \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=\left[ \frac{x}{4}-\frac{1}{8}{{\tan }^{-1}}2x \right]_{0}^{1} \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=\left[ \frac{1}{4}-\frac{1}{8}{{\tan }^{-1}}2\cdot 1 \right]-\left[ \frac{0}{4}-\frac{1}{8}{{\tan }^{-1}}2\cdot 0 \right] \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{4}-7,92 \\ & \int_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}}=-7,67 \\ \end{align} \)

Portanto, o valor da integral dada será \(\boxed{ - 7,67}\).

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Abner Rovielo Santos

Há mais de um mês

Primeiro separe entre duas integrais para facilitar: integral[0,1] de (x^2/4x^2) dx e integral[0,1] de 1 dx. Faça a divisão da primeira integral: x^2/4x^2 = 1/4 Agora integre as duas antes de fazer os limites: a primeira fica: x/4 |[0,1] a segunda fica: x |[0,1] OBS: Em integral definida não existe Constante. Junte as duas novamente: (x/4 + x) |[0,1] Aplique os limites: (1/4 + 1) - (0/4 + 0) = 5/4 A resposta dessa integral é 5/4, agora não faço ideia de onde veio ou como chego a essa resposta que você colocou.
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Abner Rovielo Santos

Há mais de um mês

Perdão pela formatação do texto, fiz pelo celular. Conferi também pelo Wolfram e nele também dá 5/4, nenhum outro tipo de resposta. Agora estou curioso pra saber como chega nessa sua resposta.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas