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Estrutura Algébrica. livro algebra modernas. questão 39 pg 159.

Sabendo que Q - {1} é um grupo relativamente à operação * tal que x*y=x+y-xy, verifique se A={0,+-2,+-4,...}é ou não um subconjunto desse grupo.

Álgebra IUFMA

4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Para começar, vamos definir grupo. Na matemática, um grupo em relação a uma determinada operação é um conjunto em que o resultado ao aplicarmos a dita operação em qualquer par de elementos do grupo também pertence ao mesmo grupo. Um subgrupo é um grupo cujos elementos pertencem a um determinado grupo e cuja operação é a mesma.

Sabemos que \(\mathbb Q-\{1\}\) é um grupo com relação à operação \(*\) definida como:


\[x*y=x+y-xy\]

Queremos saber se o seguinte conjunto é um sub-grupo do grupo citado:


\[\{0,\pm2,\pm4,\dots\}\]

Perceba que esse é o conjunto dos números pares, então basta provarmos que dados dois números pares, o resultado da operação \(*\) é também um número par. Isso é muito simples, visto que as operações aritméticas de soma, subtração e multiplicação (que compõem a operação dada) mantém a paridade se ambos os números tiverem a mesma paridade.

Provamos, então, que
\[\{0,\pm2,\pm4,\dots\}\]
é subgrupo de \(\mathbb Q-\{1\}\) relativo à operação \(*\) dada.

Para começar, vamos definir grupo. Na matemática, um grupo em relação a uma determinada operação é um conjunto em que o resultado ao aplicarmos a dita operação em qualquer par de elementos do grupo também pertence ao mesmo grupo. Um subgrupo é um grupo cujos elementos pertencem a um determinado grupo e cuja operação é a mesma.

Sabemos que \(\mathbb Q-\{1\}\) é um grupo com relação à operação \(*\) definida como:


\[x*y=x+y-xy\]

Queremos saber se o seguinte conjunto é um sub-grupo do grupo citado:


\[\{0,\pm2,\pm4,\dots\}\]

Perceba que esse é o conjunto dos números pares, então basta provarmos que dados dois números pares, o resultado da operação \(*\) é também um número par. Isso é muito simples, visto que as operações aritméticas de soma, subtração e multiplicação (que compõem a operação dada) mantém a paridade se ambos os números tiverem a mesma paridade.

Provamos, então, que
\[\{0,\pm2,\pm4,\dots\}\]
é subgrupo de \(\mathbb Q-\{1\}\) relativo à operação \(*\) dada.

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