Sabendo que Q - {1} é um grupo relativamente à operação * tal que x*y=x+y-xy, verifique se A={0,+-2,+-4,...}é ou não um subconjunto desse grupo.
Sabemos que \(\mathbb Q-\{1\}\) é um grupo com relação à operação \(*\) definida como:
\[x*y=x+y-xy\]
Queremos saber se o seguinte conjunto é um sub-grupo do grupo citado:
\[\{0,\pm2,\pm4,\dots\}\]
Perceba que esse é o conjunto dos números pares, então basta provarmos que dados dois números pares, o resultado da operação \(*\) é também um número par. Isso é muito simples, visto que as operações aritméticas de soma, subtração e multiplicação (que compõem a operação dada) mantém a paridade se ambos os números tiverem a mesma paridade.
Provamos, então, que
\[\{0,\pm2,\pm4,\dots\}\]
é subgrupo de \(\mathbb Q-\{1\}\) relativo à operação \(*\) dada.
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