Espaço Vetorial

Seja u=(u1, u2, u3), v=(v1,v2,v3), w=(w1,w2,w3) pertencentes a V e α,β pertencentes a R. Temos que mostrar que são válidos os axiomas do espaço vetorial em V:

A1) Comutatividade

u+v=(u1, u2, u3)+(v1,v2,v3)=(u1+v1,u2+v2,u3+v3)=(v1+u1,v2+u2,v3+v3)=(v1,v2,v3)+(u1, u2, u3)=v+u

A2) Associatividade

i) (u+v)+w=(u1+v1,u2+v2,u3+v3)+(w1,w2,w3) =[(u1+v1)+w1,(u2+v2)+w2,(u3+v3)+w3]=[u1+(v1+w1),u2+(v2+w2),u3+(v3+w3)]=(u1, u2, u3)+[(v1+w1),(v2+w2),(v3+w3)]=u+(v+w).

ii)(αβ)u=(αβ)(u1, u2, u3)=[(αβ)u1,(αβ)u2,(αβ)u3]=[α(βu1),α(βu2),α(βu3)]=a[(βu1,βu2,(βu3)]=a[β(u1, u2, u3)]=a(βu)

A3) Vetor nulo

Seja 0=(0,0,0) pertencente a V.

u+0=(u1, u2, u3)+(0,0,0)=(u1+0,u2+0,u3+0)=(u1, u2, u3)

a4) Inverso aditivo

Seja -u=(-u1,-u2,-u3) pertecente a V.

u+(-u)=(u1+(-u1),u2+(-u2),u3+(-u3))=(0,0,0)=0

a5) Distributividade

i)(α+β)u=(α+β)(u1, u2, u3)=[(α+β)u1,(α+β)u2,(α+β)u3]=(αu1+βu1,αu2+βu2,αu3+βu3)=(αu1,αu2,αu3)+(βu1,βu2,βu3)=α(u1, u2, u3)+β(u1, u2, u3)=αu+βu

ii)α(u+v)=α(u1+v1,u2+v2,u3+v3)=[α(u1+v1),α(u2+v2),α(u3+v3)]=(αu1+αv1,αu2+αv2,αu3+αv3)=(αu1,αu2,αu3)+(αv1,αv2,αv3)=α(u1, u2, u3)+α(v1,v2,v3)=αu+αv.

A6) Multiplicação por 1

1.u=1(u1, u2, u3)=(1.u1,1.u2,1.u3)=(u1, u2, u3)=u