a antiderivada de ∫√x²+1x dx é:

Segue a resolução:

Nesse exercício vamos usar o conceito de antiderivada, que nada mais é que o inverso da derivada, ou a integral, ou seja, em outras palavras o exercício pede que calculemos a integral dada.

$$I=\int\sqrt{x^2+1}x\, dx$$

Para começar vamos fazer $u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx$:

$$I=\int\sqrt{u}{1\over2}du$$

Vamos agora mudar a notação de radiciação para potenciação:

$$I={1\over2}\int u^{1/2}du$$

Usando a regra do tombo invertida, isto é:

$$\int u^n\, du = {u^{n+1}\over n+1}$$

Com $n=1/2$:

$$I={1\over3}u^{3/2}+C$$

Por último precisamos voltar para a variável original:

$$I={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C$$

Logo a antiderivada pedida vale:

$$\boxed{\int\sqrt{x^2+1}x\, dx ={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C }$$

Nesse exercício vamos usar o conceito de antiderivada, que nada mais é que o inverso da derivada, ou a integral, ou seja, em outras palavras o exercício pede que calculemos a integral dada.

$$I=\int\sqrt{x^2+1}x\, dx$$

Para começar vamos fazer $u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx$:

$$I=\int\sqrt{u}{1\over2}du$$

Vamos agora mudar a notação de radiciação para potenciação:

$$I={1\over2}\int u^{1/2}du$$

Usando a regra do tombo invertida, isto é:

$$\int u^n\, du = {u^{n+1}\over n+1}$$

Com $n=1/2$:

$$I={1\over3}u^{3/2}+C$$

Por último precisamos voltar para a variável original:

$$I={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C$$

Logo a antiderivada pedida vale:

$$\boxed{\int\sqrt{x^2+1}x\, dx ={1\over3}(x^2+1)^{3/2}+C }$$