Teorema de Rolle
Seja f(x) = 1 - x²/³. Mostre que f(1) = f(-1) mas não existe um número C em (-1,1) tal que f'(c)=0. Porque isso contradiz o Teorema de Rolle?
Certo, isso contradiz o teorema de Rolle porque a conclusão do teorema é que há pelo menos um número xo E (-1,1) tal que f'(c) = 0. O meu problema está sendo em dizer que f(1) = f(-1), fiz por ln e substituindo e fica uma positiva e uma negativa? Qual foi o meu erro infantil?
💡 2 Respostas
Paulo
Caio, se a função for f(x)=1-x²/x³ como você colocou na pergunta, então f(1) vai ser diferente de f(-1). Caso seja f(x)=(1-x²)/x³, ai sim, vamos ter f(1)=f(-1). Outra coisa que vc precisa verificar se ela é diferenciavel no intervalo de (-1, 1). Pois caso não seja, ela não atendera o teorema de Rolle.
RD Resoluções
Como sabemos, o teorema do valor médio possui validez se, e somente se, quando a função é derivável no intervalo aberto entre os valores, no caso (-1,1). Como g(x) = |x| não é derivável em x = 0, f(x) =|x - 1| não é derivável em em x=1 .
Isso ocorre devido ao fato de a função ser formada por composição a partir de g(x)). Sendo assim, a função não é continuamente derivável em (-1, 1), não havendo garantia de que o teorema do valor médio é aplicável neste intervalo (em qualquer intervalo não contendo x=1 ele seria aplicável).
Portanto, o teorema de rolle também é válido se a função for derivável em (1). Para que uma função seja derivável, ela deve ser contínua. Mas f(x) = 1-x²/x-1 claramente não é contínua em x=1. Então a validade do teorema de rolle não é garantida neste intervalo.
Marcos Castelli
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