Cardinalidade de Conjunto Infinito

Para demonstramos que um conjunto está contido em outro, temos que provar que todo elemento que pertence ao conjunto A pertence também ao conjunto B. Então vamos pra demonstração:

Sejam A e B conjuntos, se A está contido em B e A é infinito, então B é infinito.

Sabemos que A está contido em B, desta forma para todo X pertencente ao conjunto A existe um Y pertencente ao conjunto B, tal que X=Y.
Como A é um conjunto infinito e está contido em B, concluímos que B também é infinito. Pois existem infinitos X pertencentes ao conjunto A e infinitos Y pertecentes ao conjunto B, tal que, para todo X pertencente a A e para todo Y pertencente a B, X=Y.

Portante, se A está contido em B e A é infinito, então B é infinito. :)

Suponha que \(B\) seja contável. Se \(B\) é contável, então existe uma bijeção que associa todos os seus elementos aos naturais, da forma:

\(f: \mathbb{N} \to B\)

Se \(A \subset B\) e \(A\) é incontável, existe um conjunto de elementos que pertencem a \(B\) e não podem ser associados pela bijeção anterior, o que é absurdo.

Portanto, por redução ao absurdo, B é incontável.