Velocidade posição de equilíbrio pêndulo simples

teste

Como temos dois exercícios iguais, além de que não é indicada a unidade do ângulo, vamos resolver para parâmetros. Temos um pêndulo de comprimento \(L\) e ângulo inicial \(\theta_0\). Para se obterem os resultados numéricos, basta substituir os valores de cada grandeza.

(a) É dito que o movimento é harmônico simples, portanto temos a seguinte equação diferencial:

\(\boxed{{d^2\theta\over dt^2}+{g\over L}\theta=0}\)

(b) Para solução dessa equação, temos um cosseno:

\(\theta=\theta_0\ cos\left(t\sqrt{{g\over L}}\right)\)

Na posição de equilíbrio temos \(\theta=0\):

\(\theta=\theta_0\ cos\left(t\sqrt{{g\over L}}\right)=0\Rightarrow t\sqrt{{g\over L}}={\pi\over2}\Rightarrow t={\pi\over2}\sqrt{{L\over g}}\)

Derivando a solução, obtemos a velocidade angular:

\({d\theta\over dt}=-\theta_0\sqrt{{g\over L}}\ sen\left(t\sqrt{{g\over L}}\right)\)

Para obtermos a velocidade linear, basta multiplicarmos pelo raio do movimento:

\(v = L{d\theta\over dt}\Rightarrow v=-\theta_0\sqrt{{gL}}\ sen\left(t\sqrt{{g\over L}}\right)\)

Substituindo o argumento obtido para o ponto de equilíbrio, temos:

\(v=-\theta_0\sqrt{{gL}}\ sen\left({\pi\over 2}\right)\Rightarrow \boxed{ v=-\theta_0\sqrt{{gL}}}\)

(c) Podemos obter a velocidade novamente usando conservação de energia. Inicialmente, em relação ao ponto de fixação do pêndulo, temos velocidade nula e a seguinte energia potencial gravitacional:

\(E_{g,0}=-mgL\ cos\theta_0\)

Para a energia potencial gravitacional final, temos:

\(E_g=-mgL\)

Para a energia cinética final, temos:

\(E_c={1\over2}mv^2\)

Conservando a energia mecânica, temos:

\(\begin{align} E_{g,0}&=E_g+E_c\\ -mgL\ cos\theta_0&=-mgL+{1\over2}mv^2\\ v^2&=2gL\left(1-cos\theta_0\right) \end{align}\)

Vamos lembrar da relação trigonométrica do cosseno do arco duplo:

\(cos(2x)=cos^2x-sen^2x=1-2sen^2x\Rightarrow 1-cos(2x)=2sen^2x\)

Tomando \(2x=\theta_0\) nessa expressão, temos:

\(\begin{align} v^2&=2gL\left(2sen^2{\theta_0\over2}\right)\\ &=4gLsen^2{\theta_0\over2}\\ \end{align}\)

Temos, portanto, que a velocidade é dada por:

\(\boxed{v=-2\sqrt{gL}sen{\theta_0\over2}}\)

Para ângulos pequenos, esses dois resultados se aproximam muito.