um técnico escalou um jogador para cobrar arremessos no basquetebol, sendo que o jogador converte 85 % dos arremessos. Qual a possibilidade de
A) Acertar 10 % dos arremessos
B) Errar dados
Para resolver este problema, devemos colocar em prática conceitos de probabilidade e de analise combinatória, em especial de combinação simples. A combinação simples é caracterizada pelo agrupamento de elementos de um conjunto em subconjunto, desconsiderando subconjuntos que se diferem apenas pela ordem dos elementos. A quantidades de combinações simples de um determinado conjunto está expressa pela equação abaixo.
\(C_{(n,p)}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!},\)
em que \(n\) é a quantidade de elementos do conjunto e \(p\) a quantidade de elementos de cada subconjunto.
Tendo isso em mente e dado que a probilidade do jogador converter os arremessos é de \(85,0 \text{ %}\), deduz-se que a probabilidade dele não converter é \(100,0 \text{ %} - 85,0 \text{ %}=15,0 \text{ %}\).
a) Denonimando de \(x\) a quantidade de acertos do atirador, calcula-se a probabilidade do atirar acertar o alvo exatamente \(5\) vezes:
\(\begin{align} P(x=5)&=C_{(20,5)}\cdot(0,25)^5\cdot(0,75)^{15} \\&=\dfrac{20!}{5!\cdot(20-5)!}\cdot(0,25)^5\cdot(0,75)^{15} \\&=\dfrac{20!}{5!\cdot15!}\cdot(0,25)^5\cdot(0,75)^{15} \\&=\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15!}{5!\cdot15!}\cdot(0,25)^5\cdot(0,75)^{15} \\&=\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16}{5!}\cdot(0,25)^5\cdot(0,75)^{15} \\&=\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot(0,25)^5\cdot(0,75)^{15} \\&=0,2023 \\&=20,23 \text{ %} \end{align}\)
Portanto, a prabilidade do atirador acertar exatamente \(5\) vezes o alvo é \(\boxed{20,23 \text{ %}}\).
b) Seguindo o mesmo raciocínio, a probabilidade do atirador acertar no máximo \(4\) vezes é igual a soma das probabilidades dele acertar \(1\), \(2\), \(3\) e \(4\) vezes. Assim, resulta que:
\(P(x\leq4)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4) \)
Calculando individualmente:
\(\begin{align} P(x=0)&=C_{(20,0)}\cdot(0,25)^0\cdot(0,75)^{20} \\&=\dfrac{20!}{5!\cdot(20-5)!}\cdot(0,25)^0\cdot(0,75)^{20} \\&=\dfrac{20!}{0!\cdot20!}\cdot(0,25)^0\cdot(0,75)^{20} \\&=1\cdot(0,25)^0\cdot(0,75)^{20} \\&=0,0031 \\&=0,31 \text{ %} \end{align}\)
\(\begin{align} P(x=1)&=C_{(20,1)}\cdot(0,25)^1\cdot(0,75)^{19} \\&=\dfrac{20!}{1!\cdot(20-1)!}\cdot(0,25)^1\cdot(0,75)^{19} \\&=\dfrac{20\cdot19!}{1\cdot19!}\cdot(0,25)^1\cdot(0,75)^{19} \\&=20\cdot(0,25)^0\cdot(0,75)^{20} \\&=0,0211 \\&=2,11 \text{ %} \end{align}\)
\(\begin{align} P(x=2)&=C_{(20,2)}\cdot(0,25)^2\cdot(0,75)^{18} \\&=\dfrac{20!}{2!\cdot(20-2)!}\cdot(0,25)^2\cdot(0,75)^{18} \\&=\dfrac{20\cdot19\cdot18!}{2\cdot18!}\cdot(0,25)^2\cdot(0,75)^{18} \\&=190\cdot(0,25)^2\cdot(0,75)^{18} \\&=0,0669 \\&=6,69 \text{ %} \end{align}\)
\(\begin{align} P(x=3)&=C_{(20,3)}\cdot(0,25)^3\cdot(0,75)^{17} \\&=\dfrac{20!}{3!\cdot(20-3)!}\cdot(0,25)^3\cdot(0,75)^{17} \\&=\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot17!}{6\cdot17!}\cdot(0,25)^3\cdot(0,75)^{17} \\&=1140\cdot(0,25)^3\cdot(0,75)^{17} \\&=0,1339 \\&=13,39 \text{ %} \end{align}\)
\(\begin{align} P(x=4)&=C_{(20,4)}\cdot(0,25)^4\cdot(0,75)^{16} \\&=\dfrac{20!}{4!\cdot(20-4)!}\cdot(0,25)^4\cdot(0,75)^{16} \\&=\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16!}{24\cdot16!}\cdot(0,25)^4\cdot(0,75)^{16} \\&=4845\cdot(0,25)^4\cdot(0,75)^{16} \\&=0,1897 \\&=18,97 \text{ %} \end{align}\)
Daí, somando:
\(\begin{align} P(x\leq4)&=0,0211+0,0669+0,1339+0,1897 \\&=0,4116 \\&=41,16\text{ %} \end{align} \)
Portanto, a probabilidade do atirador acertar o alvo no máximo \(4\) vezes é de \(\boxed{41,16 \text{ %}}\).
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