Integral tripla

Question

Integral tripla

roberval · Answer

https://www.symbolab.com/solver/integral-calculator

RD Resoluções · Answer

Integrando primeiro em $dz$, tem-se o seguinte:

$\Longrightarrow \int \limits_{1}^{2} \int \limits_{0}^{x^2}\int \limits_{0}^{1 \over x}x^2y^2z\,dz\,dy\, dx$

$\Longrightarrow \int \limits_{1}^{2} \int \limits_{0}^{x^2}x^2y^2 \Bigg (\int \limits_{0}^{1 \over x}z\,dz \Bigg )\, dy\, dx$

$\Longrightarrow \int \limits_{1}^{2} \int \limits_{0}^{x^2}x^2y^2 \Bigg ({1 \over 2}z^2 \bigg |_0^{1 \over x} \Bigg )\, dy\, dx$

$\Longrightarrow \int \limits_{1}^{2} \int \limits_{0}^{x^2}x^2y^2 \Big ({1 \over 2x^2}  \Big )\, dy\, dx$

$\Longrightarrow {1 \over 2}\int \limits_{1}^{2} \int \limits_{0}^{x^2}y^2   \, dy\, dx$

Agora, integrando em $dy$, tem-se o seguinte:

$\Longrightarrow {1 \over 2}\int \limits_{1}^{2} \Bigg  ( \int \limits_{0}^{x^2}y^2   \, dy\Bigg )\, dx$

$\Longrightarrow {1 \over 2}\int \limits_{1}^{2} \Bigg  ( {1 \over 3}y^3 \bigg |_0^{x^2} \Bigg )\, dx$

$\Longrightarrow {1 \over 2}\int \limits_{1}^{2} \Big  ( {1 \over 3}(x^2)^3  \Big )\, dx$

$\Longrightarrow {1 \over 2}\cdot {1 \over 3}\int \limits_{1}^{2}  x^6  \, dx$

Finalmente, integrando em $dx$, o resultado final é, aproximadamente:

$\Longrightarrow {1 \over 6}\int \limits_{1}^{2}  x^6  \, dx$

$\Longrightarrow {1 \over 6}\cdot \Big ({1 \over 7} x^7 \Big ) \bigg |_1^2$

$\Longrightarrow {1 \over 6}\cdot {1 \over 7}\Big ( 2^7-1^7 \Big )$

$\Longrightarrow {1 \over 42}\Big ( 2^7-1 \Big )$

$\Longrightarrow \fbox {$ 3,0238 $}$

Resposta correta: a) 3,02.

💡 1 Resposta