Como encontrar a equação diferencial cuja solução é a família de círculos (no R²) centrados na reta y=x, que passam pelo ponto (0,0)?

Obrigado, mas acabei descobrindo a resposta antes.

Para o raio(genérico),  podemos tomar a direção da reta y=x. Logo R²=2a², sendo "a" uma medida qualquer da distância do centro aos eixos x e y.

Portanto, (x-a)²+(y-a)²=2a².

Expandindo a expressão, temos: x²-2ax+a²+y²-2ay+a²=2a² → x²+y²-2a(x+y)=0 → x²+y²=2a(x+y).

Derivando, temos: 2x+2ydy/dx=2a(1+dy/dx).

Para sumir com o parâmetro "a", podemos substituir um termo que o contenha, como o membro da equação anterior, 2a(x+y).

Logo, multiplicando ambos os membros por (x+y), temos: (x+y)(2x+2ydy/dx)=2a(x+y)(1+dy/dx).

Como 2a(x+y)=x²+y², temos: (x+y)(2x+2ydy/dx)=(x²+y²)(1+dy/dx) → 2x²+2xy+(2xy+2y²)dy/dx=x²+y²+(x²+y²)dy/dx → x²+2xy-y²=(x²-2xy-y²)dy/dx.

Portanto, a equação diferencial cuja solução é a família de círculos centrados em y=x, que passam por (0,0), sem depender do raio é x²+2xy-y²=(x²-2xy-y²)dy/dx.

Não sei exatamente como se resolve, porém isso aqui talvez ajude:

Uma equação diferencial da forma:

dy/dx = -x/y , pode ser resolvida por separação de variável, logo

ydy = -xdx ---> Integrando ambos os lados

y²/2 + C1 = -x²/2 + C2

y²/2 + x²/2 = C2 - C1

x² + y² = 2(C2-C1) ----> Substituindo a constante por c², logo

x² + y² = c², ( Família de circunferências centradas na origem)