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Como encontrar a equação diferencial cuja solução é a família de círculos (no R²) centrados na reta y=x, que passam pelo ponto (0,0)?


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Se a distância do ponto de tangência (x,y) ao ponto A(a,0) é fixa, então :

(x-a)^2+y^2=4 \implies x=\sqrt{4-y^2}+a, em geral, nossos pontos são A(a,0)\  e\  (\sqrt{4-y^2}+a,y), portanto

y'=\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}=\frac{y-0}{\sqrt{4-y^2}+a-a}=\frac{y}{\sqrt{4-y^2}}

Encontrando nossas familias de curvas:
\int dx = \int \frac{\sqrt{4-y^2}}{y} \implies x+c=2\ln y +\sqrt{4-y^2}-2\ln({\sqrt{4-y^2}+2})
Fazendo x=0, \ y=2, temos que c = 0.

Portanto, teremos:
\therefore x=-2 \ln\left(\frac{2+\sqrt{4-y^2}}{y}\right)+\sqrt{4-y^2}

Se a distância do ponto de tangência (x,y) ao ponto A(a,0) é fixa, então :

(x-a)^2+y^2=4 \implies x=\sqrt{4-y^2}+a, em geral, nossos pontos são A(a,0)\  e\  (\sqrt{4-y^2}+a,y), portanto

y'=\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}=\frac{y-0}{\sqrt{4-y^2}+a-a}=\frac{y}{\sqrt{4-y^2}}

Encontrando nossas familias de curvas:
\int dx = \int \frac{\sqrt{4-y^2}}{y} \implies x+c=2\ln y +\sqrt{4-y^2}-2\ln({\sqrt{4-y^2}+2})
Fazendo x=0, \ y=2, temos que c = 0.

Portanto, teremos:
\therefore x=-2 \ln\left(\frac{2+\sqrt{4-y^2}}{y}\right)+\sqrt{4-y^2}

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Matheus Oliver De Carvalho Cerqueira

Há mais de um mês

Para o raio(genérico),  podemos tomar a direção da reta y=x. Logo R²=2a², sendo "a" uma medida qualquer da distância do centro aos eixos x e y.

 

Portanto, (x-a)²+(y-a)²=2a².

 

Expandindo a expressão, temos: x²-2ax+a²+y²-2ay+a²=2a² → x²+y²-2a(x+y)=0 → x²+y²=2a(x+y).

 

Derivando, temos: 2x+2ydy/dx=2a(1+dy/dx).

 

Para sumir com o parâmetro "a", podemos substituir um termo que o contenha, como o membro da equação anterior, 2a(x+y).

 

Logo, multiplicando ambos os membros por (x+y), temos: (x+y)(2x+2ydy/dx)=2a(x+y)(1+dy/dx).

 

Como 2a(x+y)=x²+y², temos: (x+y)(2x+2ydy/dx)=(x²+y²)(1+dy/dx) → 2x²+2xy+(2xy+2y²)dy/dx=x²+y²+(x²+y²)dy/dx → x²+2xy-y²=(x²-2xy-y²)dy/dx.

 

Portanto, a equação diferencial cuja solução é a família de círculos centrados em y=x, que passam por (0,0), sem depender do raio é x²+2xy-y²=(x²-2xy-y²)dy/dx.

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Matheus Oliver De Carvalho Cerqueira

Há mais de um mês

Obrigado, mas acabei descobrindo a resposta antes.

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Humberto Gimenes Macedo

Há mais de um mês

Não sei exatamente como se resolve, porém isso aqui talvez ajude:

Uma equação diferencial da forma:

dy/dx = -x/y , pode ser resolvida por separação de variável, logo

 

ydy = -xdx ---> Integrando ambos os lados

 

y²/2 + C1 = -x²/2 + C2

 

y²/2 + x²/2 = C2 - C1

 

x² + y² = 2(C2-C1) ----> Substituindo a constante por c², logo

 

x² + y² = c², ( Família de circunferências centradas na origem)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas