alguém pode me ajudar com essa questão?

Boa noite, Antônio

Aqui novamente você deve fazer uso dos teoremas de Conservação.

Primeiramente utilizamos conservação da energia e calculamos a velocidade da partícula. Como o ângulo é 45º, então Vx = Vy.

Vf² = Vi2 -2gH   =>  Vi = sqrt(500) = Vx - Vy. Ok.

Calculemos então o tempo para alcançar a altura máxima utilizando a equação adequada => t = sqrt(5).

E a posição horizontal neste momento => d = 50 m.

Como a partícula de 100g atingiu 90 m, quando era p/ atingir na verdade 100 m, vemos que a velocidade da mesma foi reduzia de modo que:

dmáxima esperada = sqrt(5)*sqrt(500) m = 50 m

dmáxima real = sqrt(5)*V(100g) = 40 m    =>   V(100g) = 17,88 m/s. Como a velocidade do centro de massa é de 22,36 m/s e da partícula de 100g é de 17,88 m/s posso afirmar que a partícula de 100g tinha - 4,48 m/s em relação ao centro de massa.

por convervação de momento linear, a velocidade da partícula de 50 g em relação ao centro de massa é 8,96 m/s.

A distância atingida pela partícula 50g é D(50g) = 50 m (do momento da colisão) + (8,96m/s + 22,36m/s)*sqrt(5) = 120 m.

E por conservação da energia cinética (à princípio da energia mecânica, mas a energia potencial gravitacional é constante no momento da explosão)

0,05 Kg *(8,96 + 22,36)² m/s + 0,10 Kg*(22,36 - 4,48)² m/s + 2*E(liberada) = 22,36²*0,150 J

Eliberada = 2,99 J

Refaça os cálculos.

Att.

Neste exercício, será adotado como referencial o ponto de partida do rojão, ou seja, o rojão parte de \(x_0=0 \mbox{ m}\) e \(y_{0}=0 \mbox{ m}\). A trajetória do rojão está apontada no eixo +x. Além disso, o sentido +y (de baixo para cima) será o sentido positivo. Portanto, a aceleração dos projéteis será de:

\(\Longrightarrow a_y = -g\)

\(\Longrightarrow a_y = -9,81 \space \mathrm {m/s^2}\)

(a)

Primeiro, pede-se a distância entre o ponto de lançamento do rojão e o ponto em que o fragmento mais leve atinge o solo. Para isso, deve-se achar a distância horizontal percorrida pelo rojão antes de sua explosão. Para isso, será utilizada a equação de velocidade no eixo y apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow v_{1,y,roj}^2 = v_{0,y,roj}^2 + 2a_y \Delta y\)

Vamos supor que o rojão se encontra em sua altura máxima no instante 1. Pelo enunciado, sabe-se que \(\Delta y = 25 \mbox { m}\) do instante 0 ao instante 1. Portanto, \(v_{1,y,roj}=0 \space \mathrm {m/s}\).
Substituindo os termos conhecidos na equação anterior, o valor da velocidade vertical inicial \(v_{0,y,roj}\) é:

\(\Longrightarrow 0^2 = v_{0,y,roj}^2 + 2(-9,81)\cdot 25\)

\(\Longrightarrow v_{0,y,roj} = \sqrt { 2\cdot 9,81 \cdot 25 }\)

\(\Longrightarrow v_{0,y,roj} = 22,15 \space \mathrm {m/s}\)

Conhecendo o valor de \(v_{0,y,roj}\), o tempo que o rojão leva para atingir a altura máxima é de:

\(\Longrightarrow v_{1,y,roj} = v_{0,y,roj} + a_y t\)

\(\Longrightarrow 0= 22,15 -9,81 t\)

\(\Longrightarrow t=2,26 \space \mathrm {s} \)

Como a velocidade inicial \(v_{0,roj}\) do rojão forma um ângulo de \(\theta = 45^{\circ}\) com o eixo +x, tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{0,x,roj} = v_{0,roj} \cos \theta \\ v_{0,y,roj} = v_{0,roj} \sin \theta \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{0,x,roj} = v_{0,roj} \cos 45^{\circ} \\ v_{0,y,roj} = v_{0,roj} \sin 45^{\circ} \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{0,x,roj} = { \sqrt{2} \over 2}v_{0,roj} \\ v_{0,y,roj} = { \sqrt{2} \over 2}v_{0,roj} \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \underline {v_{0,x,roj} = v_{0,y,roj} }\)

Conhecendo o valor de \(t\), a posição horizontal do rojão durante a altura máxima é:

\(\Longrightarrow x_1=x_0+v_{0,x,roj}t\)

Substituindo \( \underline {v_{0,x,roj} = v_{0,y,roj} }\):   \(\Longrightarrow x_1=0+v_{0,y,roj}t\)

\(\Longrightarrow x_1=22,15 \cdot 2,26\)

\(\Longrightarrow x_1=50 \space \mathrm {m}\)

Pelo enunciado, sabe-se que o fragmento pesado de massa \(m_{p}=100 \space \mathrm {g}\) caiu a \(90 \space \mathrm{m}\) do ponto de lançamento do rojão. Portanto, após a explosão, a massa \(m_{p}\) percorreu uma distância horizontal de:

\(\Longrightarrow \Delta x_p = 90 - x_1\)

\(\Longrightarrow \Delta x_p = 90 - 50\)

\(\Longrightarrow \Delta x_p = 40 \space \mathrm {m}\)

Como a resistência do ar está sendo desprezada, o tempo necessário para um objeto qualquer (um rojão, por exemplo) atingir a altura máxima é igual ao tempo necessário para voltar ao solo. Como os fragmentos foram lançados horizontalmente, a massa \(m_{p}\) precisa de \(t=2,26 \space \mathrm {s} \) para cair no solo após a explosão do rojão. Portanto, no momento da explosão, a velocidade horizontal inicial \(v_{0,x,p}\) de \(m_{p}\) é:

\(\Longrightarrow \Delta x_p = v_{0,x,p}t\)

\(\Longrightarrow v_{0,x,p} = {\Delta x_p \over t}\)

\(\Longrightarrow v_{0,x,p} = {40 \over 2,26}\)

\(\Longrightarrow v_{0,x,p} = 17,72 \space \mathrm {m/s}\)

Agora, será utilizada a equação da conservação do momento linear. O momento linear \(\overrightarrow{p_1}\) imediatamente antes da explosão do rojão deve ser igual ao momento linear \(\overrightarrow{p_2}\) imediatamente após a explosão.

\(\Longrightarrow \overrightarrow{p_1} = \overrightarrow{p_2}\)

\(\Longrightarrow m_{roj} \cdot v_{x,roj} = m_l\cdot v_{0,x,l} + m_p \cdot v_{0,x,p}\)     \((I)\)

As variáveis da equação são: 

\(m_{roj}\): massa do rojão;
\(v_{x,roj}\): velocidade horizontal do rojão pouco antes da explosão;
\(m_l = 50 \space \mathrm {g}\): massa do fragmento leve;
\(v_{0,x,l}\): velocidade horizontal inicial do fragmento leve;
\(m_p = 100 \space \mathrm {g}\): massa do fragmento pesado;
\(v_{0,x,p}\): velocidade horizontal inicial do fragmento pesado.

Neste exercício, apenas o eixo y está submetido a uma aceleração (a da gravidade). Como o eixo x não possui nenhuma aceleração, a velocidade horizontal inicial dos objetos se mantém constante por todo o trajeto. Portanto, a equação \((I)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (m_l+m_p) \cdot v_{x,roj} = m_l\cdot v_{x,l} + m_p \cdot v_{x,p}\)    \((II)\)

Com as considerações anteriores, a velocidade horizontal \(v_{x,roj}\) do rojão durante a altura máxima de \(25 \mbox { m}\) é:

\(\Longrightarrow v_{x,roj} = v_{0,x,roj}\)

Substituindo \( \underline {v_{0,x,roj} = v_{0,y,roj} }\):   \(\Longrightarrow v_{x,roj} = v_{0,y,roj}\)

\(\Longrightarrow v_{x,roj} = 22,15 \space \mathrm {m/s}\)

Substituindo \(v_{x,p}= v_{0,x,p} = 17,72 \space \mathrm {m/s}\) na equação \((II)\), o valor de \(v_{x,l}\) é:

\(\Longrightarrow (m_l+m_p) \cdot v_{x,roj} = m_l\cdot v_{x,l} + m_p \cdot v_{x,p}\)

\(\Longrightarrow m_l\cdot v_{x,l}=(m_l+m_p) \cdot v_{x,roj} - m_p \cdot v_{x,p}\)

\(\Longrightarrow v_{x,l}={(m_l+m_p) \cdot v_{x,roj} - m_p \cdot v_{x,p} \over m_l}\)

\(\Longrightarrow v_{x,l}={(50+100) \cdot 22,15 - 100 \cdot 17,72 \over 50}\)

\(\Longrightarrow v_{x,l}=31 \space \mathrm {m/s}\)

Como as velocidades \(v_{x,l}=31 \space \mathrm {m/s}\) e \(v_{x,p}= 17,72 \space \mathrm {m/s}\) são maiores do que zero, significa que os trajetos dos dois fragmentos ocorrem no sentido do eixo +x (assim como o trajeto do rojão). Portanto, os fragmentos se afastam do referencial adotado.

Assim como a massa \(m_{p}\), a massa \(m_{l}\) também precisa de \(t=2,26 \space \mathrm {s} \) para cair no solo após a explosão do rojão. Portanto, a distância horizontal \(\Delta x_l\) percorrida pelo fragmento leve é:

\(\Longrightarrow \Delta x_l = v_{x,l}t\)

\(\Longrightarrow \Delta x_l = 31\cdot 2,26\)

\(\Longrightarrow \Delta x_l = 70 \space \mathrm {m}\)

Recapitulando, o rojão parte de \(x_0=0 \mbox{ m}\) e explode em \(x_1=50 \space \mathrm {m}\). Após a explosão, o fragmento leve de \(50 \space \mathrm {g}\) percorre uma distância horizontal de \(\Delta x_l = 70 \space \mathrm {m}\) até atingir o solo. Portanto, em relação ao referencial, o fragmento leve cai a uma distância de:

\(\Longrightarrow x_{0-l}=x_1+\Delta x_l \)

\(\Longrightarrow x_{0-l}=50+70\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ x_{0-l}=120 \space \mathrm {m} $}\)

(b)

Agora, são pedidas as velocidades dos dois fragmentos em consequência da explosão. Para isso, serão utilizadas as velocidades calculadas na letra (a) deste exercício. Essas velocidades estão apresentadas a seguir:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{x,roj} = 22,15 \space \mathrm {m/s} \\ v_{x,p}= 17,72 \space \mathrm {m/s} \\ v_{x,l}=31 \space \mathrm {m/s} \end{matrix} \right.\)

As velocidades são:

\(v_{x,roj}\): velocidade do rojão antes da explosão;
\(v_{x,p}\): velocidade do fragmento pesado após a explosão;
\(v_{x,l}\): velocidade do fragmento leve após a explosão.

Antes da explosão, as velocidades dos dois fragmentos eram de \(v_{x,roj}=22,15 \space \mathrm {m/s}\). Após a explosão, as velocidades comunicadas aos dois fragmentos foram de:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{x,l}^{'}= v_{x,l} - v_{x,roj} \\ v_{x,p}^{'}= v_{x,p} - v_{x,roj} \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{x,l}^{'}= 31 - 22,15 \\ v_{x,p}^{'}= 17,72 - 22,15 \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} v_{x,l}^{'}= 8,86 \space \mathrm {m/s} \\ v_{x,p}^{'}= -4,43 \space \mathrm {m/s} \end{matrix} \right.\)

Analisando os valores encontrados, é possível ver que, após a explosão, o fragmento leve de \(50 \mbox { g}\) ganhou velocidade e o pesado de \(100 \mbox { g}\) perdeu velocidade.

Concluindo, após a explosão, as velocidades dos fragmentos leve e pesado são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} v_{x,l}^{'}= 8,86 \space \mathrm {m/s} \\ v_{x,p}^{'}= -4,43 \space \mathrm {m/s} \end{matrix} \right. $}\)

(c)

Por último, será calculada a energia mecânica liberada pela explosão do rojão. Para isso, sabe-se que a energia mecânica é igual à energia cinética mais a energia potencial.

Imediatamente antes da explosão, a energia mecânica \(E_a\) era de:

\(\Longrightarrow E_a=K_a+U_a\)

\(\Longrightarrow E_a={1 \over 2}m_{roj} \cdot v_{x,roj}^2+m_{roj}\cdot g \cdot \Delta y\)

\(\Longrightarrow E_a={1 \over 2}(0,1+0,05) \cdot (22,15)^2+(0,1+0,05)\cdot 9,81 \cdot 25\)

\(\Longrightarrow E_a=73,575 \space \mathrm {J}\)

Imediatamente depois da explosão, a energia mecânica \(E_d\) foi de:

\(\Longrightarrow E_d=E_{d,l}+E_{d,p}\)

\(\Longrightarrow E_d=\Big[K_{d,l}+U_{d,l} \Big]+\Big[ K_{d,p}+U_{d,p} \Big]\)

\(\Longrightarrow E_d=\Big [ {1 \over 2}m_{l} \cdot v_{x,l}^2+m_{l}\cdot g \cdot \Delta y \Big] + \Big [{1 \over 2}m_{p} \cdot v_{x,p}^2+m_{p}\cdot g \cdot \Delta y \Big]\)

\(\Longrightarrow E_d=\Big[{1 \over 2}0,05 \cdot (31)^2+0,05\cdot 9,81 \cdot 25 \Big] + \Big[ {1 \over 2}0,1\cdot (17,72)^2+0,1\cdot 9,81 \cdot 25 \Big]\)

\(\Longrightarrow E_d=36,297+40,221\)

\(\Longrightarrow E_d=76,518 \space \mathrm {J}\)

Finalmente, a energia mecânica liberada pela explosão do rojão foi de:

\(\Longrightarrow \Delta E = E_d- E_a\)

\(\Longrightarrow \Delta E = 76,518- 73,575\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \Delta E = 2,94 \space \mathrm {J} $}\)