Sejam os vetores u,v,w e z tais que w=u+v e u é paralelo a z. Prove que se v é paralelo a z, entao w é paralelo a z.
"Geometrize" um plano que contenha os vetores u e v. Intuitivamente, w estará contido neste plano.
z, sendo paralelo a u e v, é também paralelo ao plano e a qualquer outro vetor contido nele, incluindo o w.
Espero ter ajudado!
No exercício é dado que \(\vec{u}\parallel\vec{z}\), ou seja, temos:
\(\vec{u}\times\vec{z}=\vec{0}\)
Partindo da hipótese que \(\vec{v}\parallel\vec{z}\), vamos provar que \(\vec{w}\parallel\vec{z}\). Como \(\vec{v}\parallel\vec{z}\), temos:
\(\vec{v}\times\vec{z}=\vec{0}\)
Vamos então calcular \(\vec{w}\times\vec{z}\) para vermos que propriedade obtemos:
\(\vec{w}\times\vec{z} = (\vec{u}+\vec{v})\times\vec{z}\)
Através da propriedade distributiva, temos:
\(\vec{w}\times\vec{z} = \vec{u}\times\vec{z}+\vec{v}\times\vec{z}\)
Mas usando os resultados previamente citados, temos:
\(\vec{w}\times\vec{z} = \vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\)
Quando o produto vetorial de dois vetores é nulo, eles são paralelos, então fica demonstrado que se \(\vec{v}\parallel\vec{z}\), enstão \(\boxed{\vec{w}\parallel\vec{z}}\ \ \boxed{c.q.d.}\).
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