Se q é a quantidade em função do preço, logo, o preço é:

p= (q-20)*(-500)

A função receita é dada por R=p*q. Então a função recita será:

R(q) = q[(q - 20)*(-500)] = -500q^2 + 10000q

A receita máxima será o vertice dessa equação quadratica.

qv= -b/2a então, qv= 10000/(2*500) = 10

Substituindo q da equação por qv, achamos o preço da receita máxima.

R(10) = -500(10)^2 + 10000(10) = 50000

Bom, eu acho que é isso.

Um abração,

Leonardo.

Vamos começar por descrever a receita em função do preço unitário:

\(R=pq=p\left(20-{p\over500}\right)\Rightarrow\boxed{R=20p-{p^2\over500}}\)

Para determinarmos o preço unitário para o qual a receita é máxima, vamos encontrar o máximo da função, derivando-a e igualando a zero através da regra do tombo:

\(\left.{dR\over dp}\right|_{p_0}=0=20-{p_0\over250}\)

Resolvendo a equação, temos que o preço unitário que maximiza a receita é:

\(\boxed{p_0=5000}\)

Substituindo na expressão da receita, temos a dita receita máxima:

\(R_m=20p_0-{p_0^2\over500}\Rightarrow\boxed{R_m=50000}\)