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alguem sabe a resposta dessa questão?

as diagonais de um paralelograma encontran-se mutualmente ao meio. seja o paralelograma ABCD. B-A=C-D e D-A=C-B=U, sejam MeN respectivamente, e os pontos medios AC e BD. provemos que M coincidade com N.


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Vamos partir da segunda igualdade dada:

\(D-A=C-B=U\)

E provar que os pontos médios de AC e BD coincidem, provando que as diagonais cruzam no ponto médio. Rearranjando os termos acima, temos:

\(B+D=A+C\)

Multiplicando a equação por \({1\over2}\), temos:

\({1\over2}(B+D)={1\over2}(A+C)\)

Mas essas expressões nada mais são que os pontos médios citados:

\(\boxed{N=M}_{\boxed{c.q.d.}}\)

Vamos partir da segunda igualdade dada:

\(D-A=C-B=U\)

E provar que os pontos médios de AC e BD coincidem, provando que as diagonais cruzam no ponto médio. Rearranjando os termos acima, temos:

\(B+D=A+C\)

Multiplicando a equação por \({1\over2}\), temos:

\({1\over2}(B+D)={1\over2}(A+C)\)

Mas essas expressões nada mais são que os pontos médios citados:

\(\boxed{N=M}_{\boxed{c.q.d.}}\)

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Leonardo

Há mais de um mês

Para visualizar melhor você terá que desenhar o paralelogramo, há pelo menos duas formas de resolver, as duas requerem o desenho.

Eu resolvi da seguinte forma:

O vetor AB (B-A), o enunciado diz que o vetor CD é igual ao AB;

Diz também que o vetor AD = BC, se você desenhar o paralelogramo verá que AD é a soma de AB+BD. Já BC é a diferença de AC–CD. Com o desenho você enxerga isso facilmente, porém não prova nada. Umas dadas maneiras de provar é essa:

M= (A+D)/2;

N= (B+C)/2.

Sabemos que estes são os pontos médios.

Fazendo som de vetores, temos

AN = AB+BN

ND = NC+CD

Esse dois vetores são paralelos de mesmo sentido, logo:

AN+ND = (N-A) + (D-N)

= 2N-A-D.

Explicitando N temos:

N= (A+D)/2.

Como demonstrei lá em cima, ponto médio de M= (A+D)/2, Logo N=M.

Qualquer duvida é só perguntar.

Um abração.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas