Utilizando o método da substituição para calcular a integral ∫t √7t^2 + 12dt, obtém-se.

Se for  ∫ [t * ( 7t² + 12)^1/2 ]dt temos:

fazendo a substituição u = 7t² + 12  , derivando temos du = 14t dt ⇒
tdt = du/14   substituindo na integral original temos
1/14∫u^1/2 du = (1/14)*(2/3)  u^3/2 = (1/21) u^3/2 + k , k uma constante arbitrária

voltando para a variavel original ficamos com:

∫ [t * ( 7t² + 12)^1/2 ]dt = 1/21(7t²+12)^3/2 + k

Neste exercício, será utilizada o método da substituição para determinar a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int t\sqrt {7t^2+12}dt\)    \((I)\)

Considerando uma nova variável \(u=7t^2+12\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {du \over dt}={d \over dt}(7t^2+12)\)

\(\Longrightarrow {du \over dt}=7 \cdot 2t^1+0\)

\(\Longrightarrow du=14t \space dt\)

Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {1 \over 14}\int \color{Red}{14t}\sqrt {\color{Blue}{7t^2+12}} \color{Red}{dt}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 14}\int \sqrt {\color{Blue}u} \color{Red}{du}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 14}\int u^{0,5} {du}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 14} \bigg[{1 \over 0,5 +1}u^{(0,5+1)} \bigg]+c\)

\(\Longrightarrow {1 \over 14} \bigg[{1 \over 1,5}u^{1,5} \bigg]+c\)

\(\Longrightarrow {1 \over 14\cdot 1,5} u^{1,5}+c\)

\(\Longrightarrow {1 \over 21} u^{1,5}+c\)

Substituindo \(u=7t^2+12\) na equação anterior, tem-se que a integral é:

\(\Longrightarrow \int t\sqrt {7t^2+12}dt = {1 \over 21} u^{1,5}+c\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int t\sqrt {7t^2+12}dt = {1 \over 21} (7t^2+12)^{1,5}+c $}\)