Regra da Cadeia

Através da Regra da Cadeia, a equação de \({dz \over dt}\) é:

\(\Longrightarrow {dz \over dt} = {dz \over dx}{dx \over dt} + {dz \over dy}{dy \over dt}\)

Pelas dadas funções, as equações de \({dz \over dx}\) e \({dz \over dy}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} = {d \over dx} \big (\tan(x^2 + y) \big ) \\ {dz \over dy} = {d \over dy} \big (\tan(x^2 + y) \big )\end{matrix} \right.\)    \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} = \sec^2(x^2 + y){d \over dx}(x^2 + y) \\ {dz \over dy} = \sec^2(x^2 + y){d \over dy}(x^2 + y) \end{matrix} \right.\)    \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} = \sec^2(x^2 + y)(2x+0) \\ {dz \over dy} = \sec^2(x^2 + y)(0 + 1) \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dz \over dx} =2x\cdot \sec^2(x^2 + y) & (I) \\ {dz \over dy} = \sec^2(x^2 + y) & (II) \end{matrix} \right.\)

E as equações \({dx \over dt}\) e \({dy \over dt}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dx \over dt} = {d \over dt} (2t ) \\ {dy \over dt} = {d \over dt} (t^2 ) \end{matrix} \right.\)     \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dx \over dt} = 2 &(III) \\ {dy \over dt} = 2t & (IV) \end{matrix} \right.\)

Substituindo as equações conhecidas na equação de Regra da Cadeia, tem-se que:

\(\Longrightarrow {dz \over dt} = {dz \over dx}{dx \over dt} + {dz \over dy}{dy \over dt}\)

\(\Longrightarrow {dz \over dt} =\Big ( 2x\cdot \sec^2(x^2 + y)\Big )(2) + \Big (\sec^2(x^2 + y) \Big ) (2t)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dz \over dt} = 2( 2x + t )\sec^2(x^2 + y) $}\)