Boa tarde.

(2x+2y)/(x^2+y^2)=9

(2x+2y)=9*(x^2+y^2)

(2x+2y) = 9x^2+9y^2

9y^2 -2y = 2x - 9x^2

18y*dy/dx -2dy/dx = 2 -18x 

dy/dx{18y -2} = (2-18x)

dy/dx = (2-18x)/(18y -2) = (1-9x)/(9y-1)

dy/dx = - (1-9x)/(1-9y).

para verificar se a resposta está correta basta fazer:

(1-9y)dy = - (1-9x)dx , integrando;

y -9y^2/2 = -(x -9x^2/2)

(2y -9y^2)/2 = -( 2x -9x^2)/2

2y -9y^2 = -2x + 9x^2

2y+2x = 9(y^2+x^2) 

(2y+2x)/(y^2+x^2) = 9    c.q.d

Neste exercício, será realizada a derivação implícita de uma dada equação. Essa equação está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow {2x+2y \over x^2+y^2}=9\)

\(\Longrightarrow 2x+2y=9(x^2+y^2)\)

Com a derivação implícita, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {d \over dx}2x+{d \over dx}2y={d \over dx}9(x^2+y^2)\)

\(\Longrightarrow 2{d \over dx}x+2{d \over dx}y=9({d \over dx}x^2+{d \over dx}y^2)\)

\(\Longrightarrow 2\cdot 1+2{dy \over dx}=9(2x+{d \over dy}y^2{dy \over dx})\)

\(\Longrightarrow 2+2{dy \over dx}=9(2x+2y{dy \over dx})\)

Dividindo a equação por 2, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow 1+{dy \over dx}=9x+9y{dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx}-9y{dy \over dx}=9x-1\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx}(1-9y)=9x-1\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx}={9x-1 \over 1-9y}\)

Concluindo, a derivada de \(y\) em relação a \(x\) é:

\(\Longrightarrow \fbox{$ {dy \over dx}={9x-1 \over 1-9y} $}\)