Como calcular uma Equação Homogênea de 2º grau?

Esta equação é do tipo homogenea de forma geral y' = x²-xy+y²/x²-xy

Dividimos em cima e embaixo por x², dai obtemos: y' = 1-y/x + (y/x)² / 1- y/x

Fazemos a substituição y/x = t, logo y' = t'x + t

Obtemos t'x +t = 1 - t + t² / 1- t  --> t'x = 1-2t / 1+t ---> integral[(1+t/1-2t)dt] = integral[(1/x)dx]

Dai continua ; )

A equação é uma EDO não linear de primeira ordem. Uma Equação Diferencial de primeira ordem é dita homogênea se pudermos escrevê-la na forma:

Para resolver esse tipo de problema, devemos tentar isolar o termo da derivada de y em relação a x e transformar o lado direito da equação em função da razão de y por x.

Vamos então primeiro dividir ambos os lados da equação fornecida por e tentar isolar o termo :

Em seguida, vamos substituir e por regra da cadeia:

Substituindo o resultado obtido em na equação , temos:

Reorganizando a equação e integrando em x ambos os lados da euqação:

Para continuar a resolução precisamos reescrever a integral do lado esquerdo da equação da seguinte maneira:

Pois assim podemos fazer uma substituição se chamarmos e:

Por fim, se chamarmos e fizermos :

E trocarmos e , simplificamos:

Portanto, substituindo o resultado da equação na equação , temos:

E trocando :

Portanto, a solução da EDO homogênea é

A equação é uma EDO não linear de primeira ordem. Uma Equação Diferencial de primeira ordem é dita homogênea se pudermos escrevê-la na forma:

Para resolver esse tipo de problema, devemos tentar isolar o termo da derivada de y em relação a x e transformar o lado direito da equação em função da razão de y por x.

Vamos então primeiro dividir ambos os lados da equação fornecida por e tentar isolar o termo :

Em seguida, vamos substituir e por regra da cadeia:

Substituindo o resultado obtido em na equação , temos:

Reorganizando a equação e integrando em x ambos os lados da euqação:

Para continuar a resolução precisamos reescrever a integral do lado esquerdo da equação da seguinte maneira:

Pois assim podemos fazer uma substituição se chamarmos e:

Por fim, se chamarmos e fizermos :

E trocarmos e , simplificamos:

Portanto, substituindo o resultado da equação na equação , temos:

E trocando :

Portanto, a solução da EDO homogênea é