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Como calcular essa integral?

∫x³/(√(4-x²)) dx


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos calcular a seguinte integral:

\(I=∫{x^3\over\sqrt{4-x^2}} dx\)

Fazendo \(x=2sen\ \theta\Rightarrow dx=2cos\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I=∫{(2sen\ \theta)^3\over\sqrt{4-(2sen\ \theta)^2}} 2cos\ \theta\ d\theta=∫{16sen^3\theta\ cos\ \theta\ \over\sqrt{4(1-sen^2\theta)}} d\theta\)

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow1-sen^2\theta=cos^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I=8∫{sen^3\theta\ cos\ \theta\ \over cos\ \theta} d\theta=8∫sen^3\theta\ d\theta\)

Novamente usando a relação fundamental da trigonometria, temos:

\(I=8∫(1-cos^2\theta)sen\ \theta\ d\theta\)

Fazendo \(y=cos\ \theta\Rightarrow dy=-sen\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I=-8∫(1-y^2)\ dy\)

Integrando usando a regra do tombo invertida, temos:

\(I=-8(y-{1\over3}y^3)=8y({1\over3}y^2-1)\)

Substituindo \(y=cos\ \theta\), temos:

\(I=8cos\ \theta\ ({1\over3}cos^2\theta-1)\)

Substituindo \(sen\ \theta={x\over2}\Rightarrow cos\ \theta = \sqrt{1-{x^2\over4}}\), temos:

\(I=8\sqrt{1-{x^2\over4}}\ \left[{1\over3}\left(1-{x^2\over4}\right)-1\right]\)

Finalmente, temos:

\(\boxed{I=-{1\over3}\left(8+x^2\right)\sqrt{4-x^2}}\)

Nesse exercício vamos calcular a seguinte integral:

\(I=∫{x^3\over\sqrt{4-x^2}} dx\)

Fazendo \(x=2sen\ \theta\Rightarrow dx=2cos\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I=∫{(2sen\ \theta)^3\over\sqrt{4-(2sen\ \theta)^2}} 2cos\ \theta\ d\theta=∫{16sen^3\theta\ cos\ \theta\ \over\sqrt{4(1-sen^2\theta)}} d\theta\)

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow1-sen^2\theta=cos^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I=8∫{sen^3\theta\ cos\ \theta\ \over cos\ \theta} d\theta=8∫sen^3\theta\ d\theta\)

Novamente usando a relação fundamental da trigonometria, temos:

\(I=8∫(1-cos^2\theta)sen\ \theta\ d\theta\)

Fazendo \(y=cos\ \theta\Rightarrow dy=-sen\ \theta\ d\theta\), temos:

\(I=-8∫(1-y^2)\ dy\)

Integrando usando a regra do tombo invertida, temos:

\(I=-8(y-{1\over3}y^3)=8y({1\over3}y^2-1)\)

Substituindo \(y=cos\ \theta\), temos:

\(I=8cos\ \theta\ ({1\over3}cos^2\theta-1)\)

Substituindo \(sen\ \theta={x\over2}\Rightarrow cos\ \theta = \sqrt{1-{x^2\over4}}\), temos:

\(I=8\sqrt{1-{x^2\over4}}\ \left[{1\over3}\left(1-{x^2\over4}\right)-1\right]\)

Finalmente, temos:

\(\boxed{I=-{1\over3}\left(8+x^2\right)\sqrt{4-x^2}}\)

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Vinicius Sartori

Há mais de um mês

x = 2tant, dx = 2sec²t dt 
x² + 4 = 4(tan²t + 1) = 4 sec²t 
raiz(x² + 4) = 2 sect 

Obtemos 

∫ 8 tan³t/(2 sect) 2 sec²t dt = 8 ∫ tant³t sect dt = 8 ∫ tan²t sect tant dt = 8∫ sec²t sect tant dt - 8∫ sect tant dt 

Como d/dt sect = secxt tant t, temos que 

∫ tant³t sect dt = (sec³t)/3 + sect + C, do que deduzimos que 

∫ x³/raiz(x² + 4) dx = 8((sec³t)/3 + sect ) + C 

Agora, vamos voltar à variável x 

tant = x/2 
sec²t = 1 + (x/2)² = 
sect = ((x² + 4)/4)^(1/2) = 

∫ x³/raiz(x² + 4) dx = 8 (((x² + 4)/4)^(3/2) + (x² + 4)/4) + C 

Confira, as passagensa algébricas posso ter errado algo.

 

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Pedro Henrique R. Furtado

Há mais de um mês

Só sai por trigonométrica, tipo como o vinicius fez =)

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Leonardo Madeira

Há mais de um mês

Pelo método que a Bruna falou não sai. O método dela é substituição. Mas essa integral só sai por partes.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas