Como calcular essa integral?

x = 2tant, dx = 2sec²t dt 
x² + 4 = 4(tan²t + 1) = 4 sec²t 
raiz(x² + 4) = 2 sect 

Obtemos 

∫ 8 tan³t/(2 sect) 2 sec²t dt = 8 ∫ tant³t sect dt = 8 ∫ tan²t sect tant dt = 8∫ sec²t sect tant dt - 8∫ sect tant dt 

Como d/dt sect = secxt tant t, temos que 

∫ tant³t sect dt = (sec³t)/3 + sect + C, do que deduzimos que 

∫ x³/raiz(x² + 4) dx = 8((sec³t)/3 + sect ) + C 

Agora, vamos voltar à variável x 

tant = x/2 
sec²t = 1 + (x/2)² = 
sect = ((x² + 4)/4)^(1/2) = 

∫ x³/raiz(x² + 4) dx = 8 (((x² + 4)/4)^(3/2) + (x² + 4)/4) + C 

Confira, as passagensa algébricas posso ter errado algo.

Você pode fazer : x³ . (4-x²) ^ -1/2  .dx

Visto que raiz é um numero elevado a 1/2 . Como esta no denominador, para passar para o numerador o 1/2 fica negativo. 

 x³ . (4-x²) ^ -1/2 . Dai depois é so usar a substituição, onde U = 4 -x² e dU = -2x . dx . e resolver

Pelo método que a Bruna falou não sai. O método dela é substituição. Mas essa integral só sai por partes.