O momento de inércia é em relação ao eixo axial do cilindro. A base do cilindro se encontra no plano xy. A sua densidade é dada pela função p(x, y, z)=x^2+y^2+1.
http://200.17.141.35/egsantana/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm - pode dar um caminha para a solução
Para o momento de inércia, temos:
\(I=\int r^2dm=\int r^2\rho(x,y,z)\ dV\)
Para a densidade temos:
\(\rho(x, y, z)=x^2+y^2+1\)
Reescrevendo em coordenadas cilíndricas, temos:
\(\rho(r, \theta, z)=r^2+1\)
Como a densidade não depende do ângulo nem da cota, podemos usar o diferencial de volume \(dV=2\pi rH\ dr\):
\(I=\int_0^R r^2\rho(r,\theta,z) 2\pi rH\ dr=2\pi H\int_0^R r^3(r^2+1) \ dr=2\pi H\int_0^R r^5+r^3 \ dr\)
Integrando, temos:
\(I=2\pi H\left[{1\over6}r^6+{1\over4}r^4\right]_0^R\Rightarrow\boxed{I={\pi R^4H\over6}\left(2R^2+3\right)}\)
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Geometria Espacial e Geometria Descritiva
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