como calcular essa integral ∫cos^6(3x)dx

vlw, obrigado!

Sempre que nós temos funções trigonométricas em potência, devemos reduzí-las para expressar cos^6(3x) em termos de potência com expoente 1.

Nós podemos usar: 

cos^2(x) = [1 + cos(2x)]/2. 

Logo: 

cos^6(3x) 
= [cos^2(3x)]^3 
= {[1 + cos(6x)]/2}^3 
= [1 + cos(6x)]^3/8 
= [cos^3(6x) + 3cos^2(6x) + 3cos(6x) + 1]/8, pela expansão binomial
= (1/8)cos^3(6x) + (3/8)cos^2(6x) + (3/8)cos(6x) + 1/8 
= (1/8)cos^3(6x) + (3/16)[1 + cos(12x)] + (3/8)cos(6x) + 1/8 
= (1/8)cos^3(6x) + (3/16)cos(12x) + (3/8)cos(6x) + 5/16. 

Para finalizar, nós podemos usar:

cos(A)cos(B) = [cos(A + B) + cos(A - B)]/2. 

Daí vem: 

(1/8)cos^3(6x) 
= 1/8 * cos^2(6x) * cos(6x) 
= {[1 + cos(12x)] * cos(6x)}/16 
= [cos(6x) + cos(12x)cos(6x)]/16 
= [cos(6x) + (1/2)cos(12x + 6x) + (1/2)cos(12x - 6x)]/16 
= (3/32)cos(6x) + (1/32)cos(18x). 

E finalmente: 

cos^6(3x) 
= (1/8)cos^3(6x) + (3/16)cos(12x) + (3/8)cos(6x) + 5/16 
= [(3/32)cos(6x) + (1/32)cos(18x)] + (3/16)cos(12x) + (3/8)cos(6x) + 5/16 
= (1/32)cos(18x) + (3/16)cos(12x) + (15/32)cos(6x) + 5/16. 

A integral agora é: 
∫ cos^6(3x) = (1/576)sen(18x) + (1/64)sen(12x) + (5/64)sen(6x) + (5/16)x + C. 

Eu espero que isso ajude.

(eu - Raphael - também).

Essa questão foi resolvida pelo Brian, nesse link: 

https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20101001151900AACzMTi

Eu apenas traduzi. 

Há outra explicação, no mesmo site, mas foi mais objetiva. Dê uma olhada se interessar.

Saudações,

Raphael.