y=ex / (1 + e x ).Utilizando as regras estabelecidas pode-se afirmar que a derivada de y em relação a variável x no ponto x = 0 é igual a

derivada de y em relação a x é dy/dx e deriva pela regra do quociente (a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador sobre o denominador ao quadrado):

f '.g - f .g '/g2

obs: derivada de ex é o próprio ex

dy/dx= ex (1+ex) - ex.(ex)/ (1+ex)^2

dy/dx= ex +e^2x - e^2x/ 1 + 2e^x + e^2x

*usando a propriedade de potência, repete a base e soma os expoentes, ex . ex = e^x+x= e^2x.

dy/dx= ex/1 +2e^x + e^2x

sendo x=0 temos

dy/dx= e^0/1+2.e^0 + e^2.0

dy/dx= 1/1+2.1+1

dy/dx= 1/4

Para responder essa questão devemos utilizar a regra do quociente para derivadas que é dado por :

\(\frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)

Assim, derivando a equação \(y=\frac{ex }{ (1 + e x )}\) pela regra do quociente, temos:

\(y=\frac{ex }{ (1 + e x )}\)

\(y'=\frac{(ex)'.(1+ex) -(ex).(1+ex)'}{(1+ex)^2}\)

 \(y'=\frac{e.(1+ex) -(ex).(e)}{(1+ex)^2}=\frac{e.(1+ex -ex)}{(1+ex)^2}\)

\(y'=\frac{e}{(1+ex)^2}\)

Fazendo \(x=0\)

\(y'=\frac{e}{(1+e.0)^2}=e\)

\(\boxed{y'= e= 2,72}\)