Como calcular limite (e^(x-1)-a^(x-1))/(x²-1) com x tendendo a 1?

limite (e^(x-1)-a^(x-1))/(x²-1)=(0/0 IND)==>L'Hôpital==>**

x-->1

** limite (e^(x-1)*1-a^(x-1)*1*Ln(a))/(2x)=(1-Ln(a))/2

     x-->1

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1}{e^{x-1} - a^{x-1} \over x^2 -1}\)

Para resolver o exercício, será utilizada a Regra de L'Hôpital, que consiste na seguinte fórmula:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to n} {f(x) \over g(x)} = \lim_{x \to n} {f^{'}(x) \over g^{'}(x)}\)

Com a Regra de L'Hôpital, o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {e^{x-1} - a^{x-1} \over x^2 -1} = \lim_{x \to 1} {(e^{x-1} - a^{x-1})^{'} \over (x^2 -1)^{'}}\)

                                 \(= \lim_{x \to 1} {(e^{x-1})^{'} - (a^{x-1})^{'} \over 2x}\)

                                 \(= \lim_{x \to 1} {(e^{x-1}) - (a^{x-1} \ln a) \over 2x}\)

                                 \(= {e^{1-1} - a^{1-1} \ln a \over 2 \cdot 1}\)

                                 \(= {1 \over 2}(e^{0} - a^{0}\ln a)\)

                                 \(= {1 \over 2}(1 -\ln a)\)

Concluindo, o valor do limite do enunciado é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to 1}{e^{x-1} - a^{x-1} \over x^2 -1} = {1 \over 2}(1 -\ln a) $}\)