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porque nao vale a recipocra da propriedade f(XΩY)C f(X)Ωf(Y)?


1 resposta(s)

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Gabriela

Há mais de um mês

Na verdade, a recíproca vale, porém apenas se a função for injetora (veja o livro do Elon de Análise Real ou o livro MA11 da Coleção Profmat).

No caso de uma função não injetora, podemos considerar como exemplo f : R → R dada por f(x) = x2. Tomando os subconjuntos X = {2} e Y = {-2} no domínio, temos f(X) = {4} e f(Y) = {4}.

Note que X Ω Y = Ø. Se a recíproca da propriedade valesse, teríamos f(X) Ω f(Y) C f(XΩY), isto é, {4} Ω {4} C f(Ø), ou seja, {4} C Ø, um absurdo.

Na verdade, a recíproca vale, porém apenas se a função for injetora (veja o livro do Elon de Análise Real ou o livro MA11 da Coleção Profmat).

No caso de uma função não injetora, podemos considerar como exemplo f : R → R dada por f(x) = x2. Tomando os subconjuntos X = {2} e Y = {-2} no domínio, temos f(X) = {4} e f(Y) = {4}.

Note que X Ω Y = Ø. Se a recíproca da propriedade valesse, teríamos f(X) Ω f(Y) C f(XΩY), isto é, {4} Ω {4} C f(Ø), ou seja, {4} C Ø, um absurdo.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes